1r ciclo Gradiente de un campo.

[bertie]

Hola, a ver si alguien puede echarme una mano... tengo problemas con un ejercicio de cálculo de gradientes.
El enunciado dice:
"Encontrar el gradiente de U si a) U = ln(r) y b) U = 1/ r siendo r= xi+yj+zk

He estudiado la teoría pero no me quedan demasiado claros algunos conceptos. El gradiente es igual a las derivadas parciales de U, y tras derivar es no consigo el resultado correcto. ufff estoy hecho un lío!

Muchas gracias, un saludo.

[aLFRe]

Re: Gradiente de un campo.

Hola, a ver si alguien puede echarme una mano... tengo problemas con un ejercicio de cálculo de gradientes.
El enunciado dice:
"Encontrar el gradiente de U si a) U = ln(r) y b) U = 1/ r siendo r= xi+yj+zk

He estudiado la teoría pero no me quedan demasiado claros algunos conceptos. El gradiente es igual a las derivadas parciales de U, y tras derivar es no consigo el resultado correcto. ufff estoy hecho un lío!

Muchas gracias, un saludo.

Supongo que estás hecho un lio porque te han explicado todo el tema en coordenadas
cartesianas y no te han hablado nada de otro tipo de coordenadas.
En este caso no parece aconsejable usar las coordenadas cartesianas
porque las funciones tienen dependencia solo radial
y en concreto del módulo de $\vec{r}$
Usa la siguiente expresión:
$\vec{\nabla}U= \frac{d\,U}{d\,r}\widehat{r}$

Dos cosas poco importantes:
1. Observa que no uso $\frac{\partial U}{\partial r}$ puesto que como
U=U(r) no tiene sentido hablar de derivadas parciales.
2. $\widehat{r}$ es el vector unitario en la dirección radial...
la que apunta hacia el punto ( x,y,z)

Una cosa MUY importante:
Esta expresión es una simplificación de la fórmula del gradiente en esféricas o cilíndricas
( o polares en 2D)
No es siempre válida, sólo cuando no hay dependencia del campo escalar
en las coordenadas angulares $\theta$ y $\phi$
- esféricas - o de las coordenada angular $\theta$ y $z$ si estás en cilíndricas.
Si no lo has entendido, insiste y algún compañero del foro o yo mismo volvemos sobre esto... no la vayas a usar de forma inadecuada y te tachen el problema en el examen.

Saludos.

[bertie]

Re: Gradiente de un campo.

Gracias aLFRe por tu pronta respuesta.
De coordenadas esféricas y cilíndricas no se nada , profundizaré sobre el tema en cuanto pueda. Por otro lado creo que no se utilizarán esos sistemas de coordenadas en el desarrollo del curso (de una ingeniería). Así que se supone que debo ser capaz de resolverlo aún desconociendo eso.

no se si lo hago bien, pero entonces sería
dU/dr = 1 / (x + y +z)^2 * u
(se me queda el cuerpo como si hubiera puesto una barbaridad)

El resultado del ejercicio es (espero que se entienda, aún no se cómo ponen esas formulillas tan cucas):

.....................x...............y.....................z.
grad U = ---------- i + ----------- j + ------------- [BkI[/b]
...............xx+yy+zz..xx+yy+zz ....xx+yy+zz
Arrrg

Muchas gracias de nuevo

[Entro]

Re: Gradiente de un campo.

Lo mejor es considerar r como el módulo del vector:

$r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$

Así pues tienes que $U=ln(\sqrt{x^2+y^2+z^2})=(1/2)Ln(x^2+y^2+z^2)$

Ahora aplicas la definición de gradiente en cartesianas y listo...

[polonio]

Re: Gradiente de un campo.

Sería también bueno que entendieses el concepto de gradiente (que es independiente del tipo de coordenadas que uses aunque en algunas el cálculo sea más fácil que en otras).

El gradiente de un campo escalar nos dice cuánto crece el campo (es, al fin y al cabo una "derivada") y hacia dónde crece el campo (el gradiente de un campo escalar es un vector).

Además, si representas el campo escalar mediante superficies equiescalares (superficie que forman los puntos en los que el campo escalar vale lo mismo; por ejemplo: las isobaras son superficies equiescalares para el campo de presiones) tienes que el gradiente es perpendicular (normal) a estas superficies, pues apunta hacia donde crece su valor y en la dirección tangente el campo no varía, sino que se mantiene constante. Éste es un método para calcular un vector normal a una superficie.

Y un consejillo para el cálculo. Si aún no has dado coordenadas curvilíneas, puedes usar la regla de la cadena para derivar respecto a r (sabiendo que $r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$ como dice entro).

[bertie]

Re: Gradiente de un campo.

Polonio, muchas gracias. En efecto eso era. Se refería al módulo del ángulo. Así claro que me volvía loco (yo aplicaba eso de que el logaritmo de un vector es el logaritmo de las coordenadas).

Bueno, ya está solucionado. Increible la rapidez y la amabilidad de este foro. De nuevo gracias a todos.

Un saludo

[polonio]

Re: Gradiente de un campo.

Polonio, muchas gracias. En efecto eso era. Se refería al módulo del ángulo. Así claro que me volvía loco (yo aplicaba eso de que el logaritmo de un vector es el logaritmo de las coordenadas).

Bueno, ya está solucionado. Increible la rapidez y la amabilidad de este foro. De nuevo gracias a todos.

Un saludo

Pues de nada, hombre. Pero, cuando dices módulo del ángulo te refieres al módulo del vector, ¿no? Parece que te has trabucado...

[aLFRe]

Re: Gradiente de un campo.

Gracias aLFRe por tu pronta respuesta.

De nada...

El resultado del ejercicio es (espero que se entienda, aún no se cómo ponen esas formulillas tan cucas):

Esas fórmulas se escriben usando [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
Puede ser bueno que en cuanto puedas disponer de un poco de tiempo
aprendas un poco de este.

Saludos.