Secundaria Duda Ejercicio Matrices 2º Bach

[Alofre]

[FONT=&amp]Hola, tengo unas dudas de matrices de 2º de BACH.[/FONT]
[FONT=&amp]a) Sea M una matriz simétrica de orden 3 con det igual a -1. Calcule el det de (M+Mtraspuesta).[/FONT]
[FONT=&amp]Vale, aquí he llegado a que una matriz simétrica es igual a su traspuesta por lo que si las sumamos que 2*M. Esto quiere decir que el det quedará 2^(orden matriz)*det(M) es decir 8*-1=-8. Está bien?[/FONT]
[FONT=&amp]b) Si A es una matriz de orden 3 que cumple A^3+I=0 donde I es la matriz identidad de orden 3 y 0 es la matriz nula de orden 3 cual es su rango?[/FONT]
[FONT=&amp](No se me ocurre como resolverlo :-()[/FONT]
[FONT=&amp]Muchísimas gracias!![/FONT]

[angel relativamente]

Re: Duda Ejercicio Matrices 2º Bach

Hola Alofre. El apartado (a) es correcto. Para el (b), recuerda que si el determinante de una matriz cuadrada es no nulo, entonces el rango es máximo (3, en este caso). ¿Sabrías probar que tiene det no nulo?

[Alofre]

Re: Duda Ejercicio Matrices 2º Bach

mmm si A^3=-I --> det(A*A*A)=-det(I)=-1. ?

Para calcular del det(A) podríamos hacer
det(A*A*A)=det(A)*det(A)*det(A)
-1=det(A)^3 --> detA=-1 ?

[angel relativamente]

Re: Duda Ejercicio Matrices 2º Bach

Efectivamente

[Alofre]

Re: Duda Ejercicio Matrices 2º Bach

Si me pidiesen calcular A sabiendo que es una matriz diagonal, tendría que operar de alguna forma o simplemente podía decir A^3=-I ---> A=-I como podría comprobar eso?

[angel relativamente]

Re: Duda Ejercicio Matrices 2º Bach

Si la matriz es diagonal y los elementos de la diagonal son $\lambda_1, \lambda_2 , \lambda_3$, entonces $A^3$ es diagonal y los elementos de la diagonal son $\lambda_1^3, \lambda_2^3 , \lambda_3^3$. Acabarlo ya es trivial.

Saludos