1r ciclo Ecuación números complejos

[KyAlOx]

Saludos.

El problema con el que me presento ahora consiste en hallar raíces de un polinomio con un parámetro:

$z^3-2z+k=0$

Además, se sabe que el afijo de una de las raíces se encuentra en la bisectriz del primer cuadrante.

Mi manera de enfocarlo es usando las fórmulas de Cardano; llamando $z_{1},z_{2}$ y $z_{3}$ a las raíces de este polinomio, me queda:

$z_{1}+z_{2}+z_{3}=0$
$z_{1}z_{2}+z_{1}z_{3}+z_{2}z_{3}=-2$
$z_{1}z_{2}z_{3}=k$

Como una está en dicha bisectriz, su parte real e imaginaria serán la misma, por lo tanto,

$z_{1}=x+xi$

Lo que hice entonces fue dar forma binómica $a+bi$ y $c+di$ a las otras dos raíces, igualar partes reales e imaginarias entre sí y enfrentarme a un bonito sistema de seis ecuaciones. Sin embargo, me salen cosas que no debe (divisiones por cero y así).

¿Creéis que en ese paso habré cometido algún paso de cuentas y está bien planteado hasta aquí? No subo todo eso porque es un tocho de fórmulas y tampoco quiero que os matéis corrigiendo cuentecillas; más bien, me gustaría saber qué me recomendáis para este tipo de ejercicios.

Nunca he sido muy bueno con esto de hallar raíces... y aplico lo de las fórmulas de Cardano, a parte de porque no veo otra manera, porque a la profesora parece que le entusiasman bastante xD

¡Gracias por adelantado!

K.

[[Beto]]

Re: Ecuación números complejos

Como una está en dicha bisectriz, su parte real e imaginaria serán la misma, por lo tanto,

$z_{1}=x+xi$

El conjugado también sería raíz.

[KyAlOx]

Re: Ecuación números complejos

El conjugado también sería raíz.

¡Hostia! ¡Tienes toda la razón del mundo! Estaba a punto de contradecirte diciendo "pero eso sólo es si los coeficientes son rea...", cuando me he dado cuenta justo de eso. ¡Juas! Por lo tanto la otra raíz es real.

¡Gracias! =)