Secundaria El menor valor de tres vectores

[anthropus]

[FONT=arial]
Se muestra tres vectores $\vec{A}$, $\vec{B}$ y $\vec{C}$, que verifican $|\vec{A}|=|\vec{B}|=|\vec{C}|/2$. Si la resultante de los tres vectores toma su menor valor, determine el valor del ángulo $\alpha$ y el valor de la resultante.

Resolución
$|\vec{B}|=\sqrt{{24}^{2}+{7}^{2}}=25$
$|\vec{A}|=25$
$|\vec{C}|=25/2$

$Ay=25\sin44$
$Ax=25\cos44$
$Cy=25/2\sin\alpha$
$Cx=25/2\cos\alpha$

Rpta: $14$y $25 cm$

Ayudenme por favor.
[/FONT]

[arivasm]

Re: El menor valor de tres vectores

Te falta poco. Eso sí, tienes mal los signos de unas cuantas componentes. Corrígelos.

También tienes mal el seno y el coseno en las componentes de $\vec C$

Encuentra el vector suma. Con él su módulo (o más cómodo: el cuadrado del mismo). Lo que queda es un problema de máximos y mínimos.

[Guillem_dlc]

Re: El menor valor de tres vectores

Buenas anthropus,

El cálculo que has hecho con los módulos de los vectores lo tienes correcto. Luego, las componentes de los vectores que has calculado no estan del todo correctas por el signo. Fíjate que estan en un cuadrante determinado. En el caso del vector A, se encuentra en el segundo cuadrante, entonces la componente x del vector es negativa y la y es positiva. Y así con la resta de los casos. Utilizando esto te queda:

$\overrightarrow{A}=(A_x,A_y)=(-25\cos 44, 25\sin 44)$

$\overrightarrow{B}=(B_x,B_y)=(24, 7)$

$\overrightarrow{C}=(C_x,C_y)=(-12,5\sin \alpha, -12,5\cos \alpha)$

Luego, la resultante de los tres vectores es:

$\overrightarrow{R}=\overrightarrow{A}+\overrightarrow{B}+\overrightarrow{C}$$=(-25\cos 44, 25\sin 44)+(24,7)+(-12,5\sin \alpha, -12,5\cos \alpha)$$=(-25\cos (44)+24-12,5\sin (\alpha); 25\sin (44)+7-12,5\cos (\alpha))$

Como el vector resultante tiene que tomar el menor valor, esto significa, que el módulo de $\overrightarrow{R}$ tiene que ser mínimo:

$|\overrightarrow{R}|=\sqrt{(-25\cos (44)+24-12,5\sin (\alpha))^2+(25\sin (44)+7-12,5\cos (\alpha))^2}$$=\sqrt{(6,02-12,5\sin (\alpha))^2+(24,37-12,5\cos (\alpha))^2}$$=\sqrt{36,24-150,5\sin (\alpha)+156,25\sin^2 (\alpha)+593,9-609,25\cos (\alpha)+156,25\cos^2 (\alpha)}$

Tenemos que minimizar esta función. Minimizamos el cuadrado de esta función:

$f(\alpha)=630,14-150,5\sin (\alpha)-609,25\cos (\alpha)+156,25(\sin^2 \alpha +\cos^2 \alpha)=$

$=630,14-150,5\sin (\alpha)-609,25\cos (\alpha)+156,25\cdot 1$$=786,39-150,5\sin (\alpha)-609,25\cos (\alpha)$
Consideramos que $\alpha \in \left[ 0, 90\right]$ (o sea que el vector C se encuentra en el tercer cuadrante). Calculamos la derivada:

$f'(\alpha)=-150,5 \cos \alpha + 609,25 \sin \alpha = 0 \implies \alpha =13,87^{\circ}$

Veamos que es un mínimo:

$f''(\alpha)=150,5\sin \alpha +609,25\cos \alpha \Rightarrow f''(13,87^{\circ})>0$
y por tanto es un mínimo.

Entonces el valor del ángulo es $\alpha =13,87^{\circ}$. El valor de la resultante es:

$\overrightarrow{R}=(3,02; 12,23)\Rightarrow |\overrightarrow{R}|=12,6$

Saludos.

[anthropus]

Re: El menor valor de tres vectores

Te falta poco. Eso sí, tienes mal los signos de unas cuantas componentes. Corrígelos.

También tienes mal el seno y el coseno en las componentes de $\vec C$

Encuentra el vector suma. Con él su módulo (o más cómodo: el cuadrado del mismo). Lo que queda es un problema de máximos y mínimos.

¿A que se refiere [FONT=arial]'la resultante de los tres vectores toma su menor valor[/FONT]'?

- - - Actualizado - - -

Buenas anthropus,

El cálculo que has hecho con los módulos de los vectores lo tienes correcto. Luego, las componentes de los vectores que has calculado no estan del todo correctas por el signo. Fíjate que estan en un cuadrante determinado. En el caso del vector A, se encuentra en el segundo cuadrante, entonces la componente x del vector es negativa y la y es positiva. Y así con la resta de los casos. Utilizando esto te queda:

$\overrightarrow{A}=(A_x,A_y)=(-25\cos 44, 25\sin 44)$

$\overrightarrow{B}=(B_x,B_y)=(24, 7)$

$\overrightarrow{C}=(C_x,C_y)=(-12,5\sin \alpha, -12,5\cos \alpha)$

Luego, la resultante de los tres vectores es:

$\overrightarrow{R}=\overrightarrow{A}+\overrightarrow{B}+\overrightarrow{C}$$=(-25\cos 44, 25\sin 44)+(24,7)+(-12,5\sin \alpha, -12,5\cos \alpha)$$=(-25\cos (44)+24-12,5\sin (\alpha); 25\sin (44)+7-12,5\cos (\alpha))$

Como el vector resultante tiene que tomar el menor valor, esto significa, que el módulo de $\overrightarrow{R}$ tiene que ser mínimo:

$|\overrightarrow{R}|=\sqrt{(-25\cos (44)+24-12,5\sin (\alpha))^2+(25\sin (44)+7-12,5\cos (\alpha))^2}$$=\sqrt{(6,02-12,5\sin (\alpha))^2+(24,37-12,5\cos (\alpha))^2}$$=\sqrt{36,24-150,5\sin (\alpha)+156,25\sin^2 (\alpha)+593,9-609,25\cos (\alpha)+156,25\cos^2 (\alpha)}$

Tenemos que minimizar esta función. Minimizamos el cuadrado de esta función:

$f(\alpha)=630,14-150,5\sin (\alpha)-609,25\cos (\alpha)+156,25(\sin^2 \alpha +\cos^2 \alpha)=$

$=630,14-150,5\sin (\alpha)-609,25\cos (\alpha)+156,25\cdot 1$$=786,39-150,5\sin (\alpha)-609,25\cos (\alpha)$
Consideramos que $\alpha \in \left[ 0, 90\right]$ (o sea que el vector C se encuentra en el tercer cuadrante). Calculamos la derivada:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Veamos que es un mínimo:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
y por tanto es un mínimo.

Entonces el valor del ángulo es [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] . El valor de la resultante es:

$\overrightarrow{R}=(3,02; 12,23)\Rightarrow |\overrightarrow{R}|=12,6$



Saludos.

Gracias Guillem_dlc y arivasm.

[arivasm]

Re: El menor valor de tres vectores

¿A que se refiere [FONT=arial]'la resultante de los tres vectores toma su menor valor[/FONT]'?

A que el módulo de su suma (resultante) sea mínimo. Fíjate en el texto que ha escrito Guillem_dic, pues hace mención explícita a ello.

[angel relativamente]

Re: El menor valor de tres vectores

Hola,
El razonamiento de guillem_dlc es el correcto y sin duda la forma más general de enfrentarse a este tipo de problemas, pero algo me dice que anthropus no conoce los métodos de minimización con derivadas y este problema creo que admite una solución más sencilla.
Como nos piden ver cuál es el menor módulo que puede tener la suma $\vec A + \vec B + \vec C$, y sabemos que la única variable es el ángulo $\alpha$ que afecta solo al vector $\vec C$, podemos calcular primero la suma de los vectores $\vec A + \vec B$, pues tenemos todos los datos. Después, a este vector suma resultante tenemos que sumarle $\vec C$ para que el valor sea mínimo. Pero sabemos que la suma de dos vectores tiene módulo mínimo si ambos tienen la misma dirección, pero sentidos opuestos.

Saludos,

[anthropus]

Re: El menor valor de tres vectores

Hola,
El razonamiento de guillem_dlc es el correcto y sin duda la forma más general de enfrentarse a este tipo de problemas, pero algo me dice que anthropus no conoce los métodos de minimización con derivadas y este problema creo que admite una solución más sencilla.
Como nos piden ver cuál es el menor módulo que puede tener la suma $\vec A + \vec B + \vec C$, y sabemos que la única variable es el ángulo $\alpha$ que afecta solo al vector $\vec C$, podemos calcular primero la suma de los vectores $\vec A + \vec B$, pues tenemos todos los datos. Después, a este vector suma resultante tenemos que sumarle $\vec C$ para que el valor sea mínimo. Pero sabemos que la suma de dos vectores tiene módulo mínimo si ambos tienen la misma dirección, pero sentidos opuestos.

Saludos,

La respuesta es $14$ y $25$ cm, pero a guillem_dlc le salio otra creo.