Secundaria Determinar si dos funciones son linealmente dependientes o independientes

[Alofre]

\ointHola,
agradecería que alguien me resolviese esta duda:

Sabiendo que toda función continua en el intervalo [0,1] es un vector del espacio vectorial C[0,1] pues verifica todos los axiomas de un espacio vectorial, como puedo probar que dos funciones de C[0,1] son linealmente dependientes o independientes? He visto por ejemplo que para determinar si son linealmente dependientes o independientes $-x , x^2-2x, 3x+5x^2$ lo único que se hace (según el ejemplo que he visto en "Álgebra lineal" de Grossman) es

$-x*c_1 + (x^2-2x)c_2 + (3x+5x^2)c_3=g ; g=0+0x+0x^2$
Ajustando: $(-c_1-2c_2+3c_3)x+(c_2+5c_3)x^2=g<br />$
Y se ve fácilmente que el sistema es Compatible Indeterminado luego existen más soluciones que la trivial (0,0,0) y son linealmente dependientes

Ahora bien, puedo hacer esto con cualquier función/vector de C[0,1]? Lo digo porque un ejercicio del libro es demostrar que sen(x) y cos(x) son linealmente independientes, pero por ese método:
$<br /> c_1*sen(x)+c_2*cos(x)=0*sen(x)+0*cos(x)$
Resultado una matriz aumentada asociada al sistema:
$<br /> \begin{pmatrix}<br /> 1 & 0 & 0\\<br /> 0 & 1 & 0<br /> \end{pmatrix}$
Es decir un sistema compatible indeterminado, lo que entra en contradicción con lo visto anteriormente. Además, he visto otra manera de demostar la independencia lineal de estas funciones, el caso es que no entiendo porque ese método funciona en un caso y no en otro.

[angel relativamente]

Re: Determinar si dos funciones son linealmente dependientes o independientes

Hola Alofre,
¿Acaso el último sistema no es compatible Determinado, y por tanto son independientes como te pedían probar?

Piensa que la definición de independencia lineal es que toda combinación lineal nula ha de tener coeficientes nulos. En el primer caso has encontrado una combinación lineal nula de las funciones con coeficientes NO nulos, por los que son LD. En el segundo la única combinación lineal que da idénticamente cero es tomar los dos coeficientes nulos, por tanto son LI.

Saludos

[Alofre]

Re: Determinar si dos funciones son linealmente dependientes o independientes

Ah.... claro porque rg(A|b)=rg(A)=2=nªincognitas

Ok, muchas gracias!! Entonces ese método es válido? Lo digo porque he visto otros (por ejemplo usando el Wronskiano) pero este parece mucho más simple...

[angel relativamente]

Re: Determinar si dos funciones son linealmente dependientes o independientes

Ah.... claro porque rg(A|b)=rg(A)=2=nªincognitas

Sí, pero vamos que este caso es trivial. Es el sistema $x=0, y=0$, renombrando variables, su única solución te la está gritando casi

Ok, muchas gracias!! Entonces ese método es válido? Lo digo porque he visto otros (por ejemplo usando el Wronskiano) pero este parece mucho más simple...

En general estudiar independencias lineales de vectores de muchas componentes es muy tedioso y por eso se utilizan argumentos matriciales, que son especialmente cómodos cuando tienes tantos vectores como dimensión del espacio (ej: 3 vectores de $\mathbb R^3$), ya que las matrices son cuadradas y puedes hacerles el determinante. Si no, hay que argumentar por rangos y puede acabar necesitando muchos pasos. Pero para pocos vectores, sin embargo, suele funcionar bien la propia definición de independencia lineal. Como digo, consiste en tomar una combinación linear arbitraria, igualarla a cero y ver si los coeficientes son siempre cero o no. Esto siempre funciona pero puede también ser un método largo si lo es el número de vectores.

Saludos

[Alofre]

Re: Determinar si dos funciones son linealmente dependientes o independientes

Sí, pero vamos que este caso es trivial. Es el sistema $x=0, y=0$, renombrando variables, su única solución te la está gritando casi

Cierto jajaja

En fin, muchas gracias por las respuestas, me han ayudado mucho!