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Estaba leyendo la parte de herramientas matemáticas de un libro de cuántica y llego a la definición de Separable (que me dije, ah esto me suena de topología, pero resulta que no es lo mismo, lo cual me esta rallando). A ver si alguien me puede resolver la duda o explicarme almenos porque lo llaman igual 
. Bueno empecemos:
Un espacio de Hilbert es separable si sucesión de Cauchy tal que [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
En un espacio topológico es separable si existe un subconjunto (S) denso y numerable.
Ahora como sabemos que el espacio de Hilbert tiene una norma inducida por el producto escalar, definamos una distancia inducida por la norma con lo cual tenemos un espacio métrico (de donde podemos definir una topología inducida), ahora si miramos los requisitos de separabilidad de la topología, vemos un subconjunto de elemntos del espacio numerable (el conjunto definido por los elementos de la succesión de cauchy del espacio de hilbert separable lo es), este conjunto ha de ser denso, como estamo en un espacio métrico, equivale a que[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] (lo cual identificando X como H en la topología inducida y S como el conjunto con los elemntos de la sucesión de Cauchy da que, S es denso), por tanto si se cumple la condición de separabilidad para un espacio de Hilbert también se cumple la de separabilidad de topología, pero al reves po parece ser cierto (el ejemplo típico de que R es separable es Q, a ver quien mete todos los números racionales en una succesión de Cauchy)
La pregunta concreta es, existe algún mótivo para que en un espació de Hilbert la separabilidad venga dada por esa definición (no se quizas no estoy teniendo en cuenta alguna propiedad del espació de Hilber), en realidad es que no me gusta tener dos definiciones para un "mismo" concepto y tan parecidas, así que si alguien sabe alguna relación de lo 2 conceptos aunque sea en encantado de leerla.
P.D. Mirando en wikipedia (versión inglesa) los espacios de Hilbert lo ponen en la parte de ejemplos de espacios separables (con la condición de que existe una base ortonormal numerable), así que supongo que la definición para espacio de Hilbert se debe a algún corolario debido alguna otra propiedad que no estoy teniendo en cuenta (en la wikipedia en versión español la primera linea es la definición para espacios topológicos y la segunda para espacios de Hilbert lo que me llevo a pensar que no serian del todo equivalentes ¬¬)
. Bueno empecemos:Un espacio de Hilbert es separable si sucesión de Cauchy tal que [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
En un espacio topológico es separable si existe un subconjunto (S) denso y numerable.
Ahora como sabemos que el espacio de Hilbert tiene una norma inducida por el producto escalar, definamos una distancia inducida por la norma con lo cual tenemos un espacio métrico (de donde podemos definir una topología inducida), ahora si miramos los requisitos de separabilidad de la topología, vemos un subconjunto de elemntos del espacio numerable (el conjunto definido por los elementos de la succesión de cauchy del espacio de hilbert separable lo es), este conjunto ha de ser denso, como estamo en un espacio métrico, equivale a que[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] (lo cual identificando X como H en la topología inducida y S como el conjunto con los elemntos de la sucesión de Cauchy da que, S es denso), por tanto si se cumple la condición de separabilidad para un espacio de Hilbert también se cumple la de separabilidad de topología, pero al reves po parece ser cierto (el ejemplo típico de que R es separable es Q, a ver quien mete todos los números racionales en una succesión de Cauchy
)La pregunta concreta es, existe algún mótivo para que en un espació de Hilbert la separabilidad venga dada por esa definición (no se quizas no estoy teniendo en cuenta alguna propiedad del espació de Hilber), en realidad es que no me gusta tener dos definiciones para un "mismo" concepto y tan parecidas, así que si alguien sabe alguna relación de lo 2 conceptos aunque sea en encantado de leerla.
P.D. Mirando en wikipedia (versión inglesa) los espacios de Hilbert lo ponen en la parte de ejemplos de espacios separables (con la condición de que existe una base ortonormal numerable), así que supongo que la definición para espacio de Hilbert se debe a algún corolario debido alguna otra propiedad que no estoy teniendo en cuenta (en la wikipedia en versión español la primera linea es la definición para espacios topológicos y la segunda para espacios de Hilbert lo que me llevo a pensar que no serian del todo equivalentes ¬¬)
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