1r ciclo Cálculo determinantes

[[Beto]]

Hola, me encuentro resolviendo dos determinantes, pero no consigo llegar a la respuesta, los determinates son los siguientes:

El primero es una matriz de 4x4:

$$D_1=\left|<br /> \begin{matrix}<br /> a&b&c&d\\<br /> -b&a&-d&c\\<br /> -c&d&a&-b\\<br /> -d&-c&b&a<br /> \end{matrix}<br /> \right|$$

Como se ve, tiene cierta simetría, supongo que hay que sumar filas o columnas y llegar algo por ahi, y quizas luego aplicar cofactores.

Y el siguiente es un determinante de la siguiente forma:

$$D_2=\left|<br /> \begin{matrix}<br /> x&y&0&\cdots&0&0\\<br /> 0&x&y&\cdots&0&0\\<br /> 0&0&x&\cdots&0&0\\<br /> \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots\\<br /> 0&0&0&\cdots&x&y\\<br /> y&0&0&\cdots&0&x<br /> \end{matrix}<br /> \right|$$

A ver si me dan una mano con esos dos determinantes.

[Dj_jara]

Re: Cálculo determinantes

El segundo determinante desarrollalo por la primera colummna y te quedara x*|diag[x,x,x,....x]| + (-)^(n+1) y * |diag[y,y,.....y]|


En la primera lo mejor es que hagas el determinantes por bloques
$\left |<br /> \begin{matrix}<br /> A&0\\<br /> 0&D\<br /> \end{matrix}<br /> \right| = det(A)*det(D) <br />$
En tu caso det(A) = det(D) y det(B) = det(C)

[[Beto]]

Re: Cálculo determinantes

Gracias, ahora completaré la solución:

Para el primero no sabía que se podían agupar "partes" de los determinates de esa forma, ahora que o pienso es bastante lógico ... entonces se tendría que:

$$<br /> \begin{aligned}<br /> A&=\left[\begin{matrix}a&b\\-b&a\end{matrix}\right]&B&=\left[\begin{matrix}c&d\\-d&c\end{matrix}\right]\\<br /> C&=\left[\begin{matrix}-c&d\\-d&-c\end{matrix}\right]&D&=\left[\begin{matrix}a&-b\\b&a\end{matrix}\right]<br /> \end{aligned}<br />$$

Luego como bien indicas $\det(A)=\det(D)=a^2+b^2$ y $\det(B)=\det(C)=c^2+d^2$

Por tanto el resultado final sería:

$$D_1=(\det A)^2-(\det C)^2=(a^2+b^2)^2-(c^2+d^2)^2$$

Luego en el segundo, desarrollandolo asi como dices, ¿cómo formas el determinate que acompaña al $y$? ... cuando yo lo desarrollo me queda asi:

$$D=\left|<br /> \begin{matrix}<br /> y&0&\cdots&0&0\\<br /> x&y&\cdots&0&0\\<br /> 0&x&\cdots&0&0\\<br /> \vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots\\<br /> 0&0&\cdots&x&y\\<br /> \end{matrix}<br /> \right|$$

¿Como se concluye que el determinante de esa matriz es igual al determinante de una matriz diagonal $y$?

[Dj_jara]

Re: Cálculo determinantes

$$D=\left|<br /> \begin{matrix}<br /> y&0&\cdots&0&0\\<br /> x&y&\cdots&0&0\\<br /> 0&x&\cdots&0&0\\<br /> \vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots\\<br /> 0&0&\cdots&x&y\\<br /> \end{matrix}<br /> \right|$$

¿Como se concluye que el determinante de esa matriz es igual al determinante de una matriz diagonal $y$?

Fijate que es triangular superior, por encima de la diagonar principal es todo 0.

[[Beto]]

Re: Cálculo determinantes

Fijate que es triangular superior, por encima de la diagonar principal es todo 0.

Que pena no haberme dado cuenta de ese detalle ... bueno en ese caso si la matriz de orden nxn,, la respuesta sería:

$$D_2=x^n+(-1)^{n+1}y^n$$

Corríjanme si me equivoco.

[Dj_jara]

Re: Cálculo determinantes

Que pena no haberme dado cuenta de ese detalle ... bueno en ese caso si la matriz de orden nxn,, la respuesta sería:

$$D_2=x^n+(-1)^{n+1}y^n$$

Corríjanme si me equivoco.

Sí, es así, yo al elevar el -1 habia supuesto que era de orden n-1

[Dj_jara]

Re: Cálculo determinantes

Luego como bien indicas $\det(A)=\det(D)=a^2+b^2$ y $\det(B)=\det(C)=c^2+d^2$

Me he equivocado, lo que yo decía es si B = C = 0 (si es diagonal por bloques)

Truco: multiplicala por su transpuesta.