2o ciclo integral de area

[rruisan]

buenas tardes si alguien sabe como resolver este ejercicio le pido favor que me explique.

En el siguiente ejercicio eliminar los parametros u y v para obtener la ecuacion cartesiana, probando asi que la ecuacion vectorial dada representa la superficie que se cita.

Paraboloide eliptico:

1.-$r(u,v)=au \cos v i + bu \sin v j + u^2 k$

2.- Toro:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] donde $0<b<a$

¿cual es el significado geometrico de a y b?

[alespa07]

Re: integral de area

buenas tardes si alguien sabe como resolver este ejercicio le pido favor que me explique.

En el siguiente ejercicio eliminar los parametros u y v para obtener la ecuacion cartesiana, probando asi que la ecuacion vectorial dada representa la superficie que se cita.

Paraboloide eliptico:

1.-$r(u,v)=au \cos v i + bu \sin v j + u^2 k$

2.- Toro:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] donde $0<b<a$

¿cual es el significado geometrico de a y b?

Wenas. Sabes que en cartesianas tendrás, en general, que:

$\vec r(x,y)= x \vec i+y \vec j +f(x,y) \vec k$

con $z=f(x,y)$ (bueno, siempre será así cuando te es posible despejar z de la ecuación ímplicita de tu superficie y en los dos casos que te atañen es posible)

Te enseñaré como se hace para el paraboloide elíptico:

La superficie es una entidad geométrica, por lo tanto, es independiente de la representación paramétrica entonces identificas las dos ecuaciones y te queda:

$x=au \cos v$

$y=bu \sin v$

Elevando al cuadrado obtienes:

$(\frac{x}{a})^2=u^2 \cos^2 v$

$(\frac{y}{b})^2=u^2 \sin^2 v$

Y al sumarlas te queda:

$(\frac{x}{a})^2+(\frac{y}{b})^2=u^2=z$

Que es efectivamente la ecuación en cartesianas de un paraboloide elíptico. Para hallar el sentido geométrico de a y b tienes que fijarte que cuando fijas z lo que te queda es un elipse en el plano z=cte. Esta elipse tendra un semieje mayor y un semieje menor que son a y b. Efectivamente cuando y=0 te queda x=a y cuando x=0 tienes y=b.

Te dejo hacer los cálculos para el toro. Piensa que la interpretación geométrica de a y b tendrá que ver con los radios del toro. Si te queda alguna duda no dudes en preguntar.
Que vaya bien.

[rruisan]

Re: integral de area

una duda y porque se eleva al cuadrado. Me imagino que se hace con el fin de poder llegar a la ecuacion del paraboloide.

[alespa07]

Re: integral de area

En este caso pensé en elevar al cuadrado porque ya sabía lo que tenía que dar. Si no lo hubiera sabido igualmente lo hubiera hecho. Efectivamente, ya conoces la coordenada z en función de u entonces solo falta eliminar v y cuando tienes un coseno y un seno con el mismo coeficiente siempre elevas al cuadrado y sumas para que se te vayan. Para el toro será un poco distinto pero tienes que tener un poco de intuición. Intentalo sino pregunta.

[rruisan]

Re: integral de area

la del Toro me sale:

$x=(a+b\cos u)\sin vi$

$y=(a+b\cos u)\cos vj$

$x^2=(a^2 + 2ab\cos u + b^2 \cos^2 u)\sin^2 v$

$y^2=(a^2 + 2ab\cos u + b^2\cos^2 u)\cos^2 v$

$\Rightarrow <br /> <br /> <br />$$x^2 + y^2=a^2 + 2ab\cos^2 u + b^2\cos^2 u$

$x^2+y^2=a^2+2ab\cos u + b^2 - b^2\sin^2 u$

$x^2 +y^2=a^2+2ab\cos u + b^2 -b^2\sin^2 u$

[alespa07]

Re: integral de area

la del Toro me sale:

$x=(a+b\cos u)\sin vi$

$y=(a+b\cos u)\cos vj$

$x^2=(a^2 + 2ab\cos^2 u + b^2 \cos^2 u)\sin^2 v$

$y^2=(a^2 + 2ab\cos^2 u + b^2\cos^2 u)\cos^2 v$

$\Rightarrow$$x^2 + y^2=a^2 + 2ab\cos^2 u + b^2\cos^2 u$

$x^2+y^2=a^2+2ab\cos u + b^2 - bz$

$x^2 +y^2=a^2+2ab\cos^2 u + b^2 -z^2$

$x^2 + y^2=(a+b\cos u)^2-z^2$

$\sqrt{x^2 + y^2}- a=b\cos^2 u-z^2$

Wenas otra vez. Creo que aquí te has liado un poquito y no simplificaste cuando pudiste. A ver si te lo puedo explicar a partir de tu razonamiento:

El principio esta bien cuando calculasx^2+y^2 (solo que el primer coeno no es al cuadrado pero supongo es un error de tecleo) pero te complicas las cosas desarrollando el cuadrado. Creo que lo mejor sería hacer:

$x^2+y^2=(a+b\cos u)^2$ $\Rightarrow$ $\sqrt{x^2+y^2}=a+b\cos u$

Ahí es cuando te tienes que fijar en que tienes una ecuación que ya sólo depende de u y que además la que todavía no hemos usado es $z=b\sin u$. Entonces, despejas $b \cos u$ de la ecuación, elevas otra vez al cuadrado para que aparezca el coseno cuadrado y haces lo propio con la ecuación de z:

$(\sqrt{x^2+y^2}-a)^2=b^2\cos^2 u$

$z^2=b^2\sin^2 u$

$\Rightarrow$ $z^2+(\sqrt{x^2+y^2}-a)^2=b^2$

Que es la ecuación del toro en cartesianas. Ahora, respecto de la interpretación geométrica de a y b, si haces la proyección el el plano (xy) (esto es, z=0) te saldrá que a es el radio mayor y b el radio menor.
Saludos.

[rruisan]

Re: integral de area

y porque tiene que ser igual a b²

[alespa07]

Re: integral de area

no entiendo tu pregunta

[rruisan]

Re: integral de area

si esque solo queria saber que significa que todo esa ecuacion sea igual a b², que me indica

[alespa07]

Re: integral de area

la ubicación del b^2 no tiene relevancia alguna. Hubiera podido igaularla a z^2 por ejemplo. Lo que si puedes notar es que como con muchas superficies simétrica tiens que un cuadrado mas un cuadrado es igual a otro cuadrado. Espero haberte ayudado, me voy a dormir...
Que vaya bien.