Secundaria Ayuda con trigonometría

[eduardo2384]

Hola amigos, ayudenme a resolver el siguiente problema, dice así:

-----------------------------------------------------------------------------------------

Si $\tan\alpha=6\tan\beta$, el valor que admite $\cos(\alpha-\beta)$ es:

-----------------------------------------------------------------------------------------


Ya desarrolle el dato pero no llego a nada. ¿como obtener los productos $\sin\alpha\sin\beta$ y $\cos\alpha\sin\beta$?


Gracias!!!

[Marce_]

Re: Ayuda con trigonometría

$\displaystyle \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = 6\frac{\sin\beta}{\cos\beta}$

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Multiplico todo por $\displaystyle \sin\beta$:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Sirve?

Un abrazo.-

[Ulises7]

Re: Ayuda con trigonometría

sinAcosB = 1/2[sin(A + B) + sin(A - B)]

cosAsinB = 1/2[sin(A + B) - sin(A - B)]


saludos

[Marce_]

Re: Ayuda con trigonometría

Un consejo más para que no te devanes los sesos:

En realidad lo que necesitas es $\displaystyle \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta$. Si a la ecuación en cuestión le sumás $\displaystyle \cot\beta$:

$\displaystyle \tan\alpha + \cot\beta = 6\tan\beta + \cot\beta$

Desarrollando el lado izquierdo de la ecuación:

$\displaystyle \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} + \frac{\cos\beta}{\sin\beta} =$

$\displaystyle = \frac{\boxed{\sin\beta\sin\alpha + \cos\alpha\cos\beta}}{\cos\alpha\sin\beta}$

Y aparece. Espero que te sea útil.

Un abrazo.-

[eduardo2384]

Ayuda con trigonometría

Les agradezco sus sugerencias, pero la verdad es q aun no he podido resolver el susodicho problema. No se si seré bruto o es q hay algo q aun no veo.
He usado la sugerencia de Marce de sumar $\cot\beta$ a ambos lados de la condición inicial pero encuentro que:

$\sin\alpha\sin\beta+\cos\beta\cos\alpha={\frac{\cos\alpha}{\cos\beta}}(6-5\cos^2 \beta)$

el cual no me gusta nada. Probe las identidades de transformación de producto a suma que sugirió Ulises pero llego a trivialidades o a la condición inicial. Según el libro de donde es éste problema las alternativas de solución son:

a)2/7 b)3/7 c)4/7 d)5/7 e)1/7

El hecho de tener en las posibles respuestas el denominador 7 me hizo pensar que hallando $\sin(\alpha+\beta)$ podría encontrar algo pero no encuentro más que:

$\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\sin\beta\cos\alpha$

y como: $\tan\alpha=6\tan\beta$ de donde $\sin\alpha\cos\beta=6\sin\beta\cos\alpha$ entonces:

$\sin(\alpha+\beta)=7\sin\beta\cos\alpha$

de donde tampoco veo algo para hacer .

Por favor denme una ayuda más

Gracias una vez más

[Ulises7]

Re: Ayuda con trigonometría

Les agradezco sus sugerencias, pero la verdad es q aun no he podido resolver el susodicho problema. No se si seré bruto o es q hay algo q aun no veo.
He usado la sugerencia de Marce de sumar $\cot\beta$ a ambos lados de la condición inicial pero encuentro que:

$\sin\alpha\sin\beta+\cos\beta\cos\alpha={\frac{\cos\alpha}{\cos\beta}}(6-5\cos^2 \beta)$

el cual no me gusta nada. Probe las identidades de transformación de producto a suma que sugirió Ulises pero llego a trivialidades o a la condición inicial. Según el libro de donde es éste problema las alternativas de solución son:

a)2/7 b)3/7 c)4/7 d)5/7 e)1/7

El hecho de tener en las posibles respuestas el denominador 7 me hizo pensar que hallando $\sin(\alpha+\beta)$ podría encontrar algo pero no encuentro más que:

$\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\sin\beta\cos\alpha$

y como: $\tan\alpha=6\tan\beta$ de donde $\sin\alpha\cos\beta=6\sin\beta\cos\alpha$ entonces:

$\sin(\alpha+\beta)=7\sin\beta\cos\alpha$

de donde tampoco veo algo para hacer .

Por favor denme una ayuda más

Gracias una vez más

Me tocará repasar bastante trigonometria .

A ver, Marce te da una pista para llegar al resultado, como lo que te piden es $\cos( \alpha\ - \beta\ )$ y sabiendo que:

$\cos( \alpha\ - \beta\ ) = \cos\alpha\cos\beta\ + \sin\alpha\sin\beta$

entonces intentaremos llegar al resultado de la derecha a partir de la ecuación dada:



luego sumamos $cotg\beta$ en ambos lados:

$tan\alpha\ + cotg\beta\ = 6 tan\beta\ + cotg\beta$

y desarrollamos:

$sin\alpha\ / \cos\alpha\ + cos\beta\ / \sin\beta\ = 6 sin\beta\ / cos\beta\ + cos\beta\ / sin\beta\$

$(sin\alpha\sin\beta\ + cos\alpha\cos\beta\ ) / sin\beta\ cos\alpha\ = 6 ( sin^2\beta\ + cos^2\beta\ ) / cos\beta\sin\beta$

y tenemos la esperada ecuación:

$cos (\alpha\ - \beta\ ) = 6 ( sin\beta\cos\alpha\ ) / cos\beta\sin\beta$

y bueno aqui me he quedado , como curiosidad ¿esto de qué nivel es?


saludos

[eduardo2384]

Ayuda con trigonometría

Se supone que es de nivel secundario (colegio). Me vino en un examen, le quise preguntar al profesor pero se hizo el loco y nunca me dijo siquiera de donde partir.

[Ulises7]

Re: Ayuda con trigonometría

Se supone que es de nivel secundario (colegio). Me vino en un examen, le quise preguntar al profesor pero se hizo el loco y nunca me dijo siquiera de donde partir.

jaja pues yo en secundaria no hacia esas cosas , ni ahora en bachillerato jeje.

Al parecer aun falta acabarlo... se puede juntar el $sin\beta$ con el $cos\beta$ para tener $tan\beta$ pero el $cos\alpha$ y $sin\beta$ no sé como juntarlos...

[Marce_]

Re: Ayuda con trigonometría

Apa, venía con respuesta, pensé que con encontrar la expresión ya más o menos estabamos. La verdad Eduardo que no tengo la menor idea de como seguir, le di un par de vueltas pero no tuve éxito. Seguro estamos obviando alguna sutileza que no puedo ver en éste momento.

Esperemos que algún iluminado se apiade de nosotros. Si tenés alguna novedad avisanos que no me quiero quedar con la intriga.

Un abrazo!.

[Marce_]

Re: Ayuda con trigonometría

Eduardo, se me ocurrió algo un poco extraño al pasar...

Si $\displaystyle tan\alpha = 6tan\beta$

Entonces:

$\displaystyle sin\alpha = 6sin\beta$

$\displaystyle cos\alpha = cos\beta$

Entonces:

$\displaystyle cos(\alpha - \beta) = 1 -\frac{5}{6}sin^{2}\alpha$

Editado:
(Acá seguiá un razonamiento incorrecto)