uno de triangulos

[alefriz]

Hola,

A pesar que el titulos habla de triángulos, voy a proponer antes un pequeño problema, y después el referente al título:

PROBLEMA 1
Un jugador de fútbol corre con el balón desde el centro del campo hacia uno de los corner. La porteria mide una longitud $a$ de poste a poste, y la distancia del poste más cercano al corner hacia el que se dirige el jugador es $b$. Calcular el punto exacto desde donde el jugador (que corre en línea recta desde el centro del campo al corner) tiene mayor posibilidad de meter gol.

PROBLEMA 2
A) Demostrar que en cualquier triángulo se cumple que: $b \cdot c = 2R \cdot h_a$, siendo $b$ = lado opuesto al vértice $B$, $c$ = lado opuesto al vértice $C$, $R$ = radio de la circunferencia circunscrita al triángulo y $h_a$ = altura del triángulo correspondiente al vértice $A$.

B) Suponiendo que sea $H$ el ortocentro del triángulo (punto donde se cortan las 3 alturas correspondientes a cada vértice). Demostrar que su simétrico $H'$ respecto al lado $a$ (lado opuesto al vértice $A$), está en la circunferencia circunscrita al triángulo (esa de radio $R$ mencionada en el apartado anterior).

[alefriz]

Re: uno de triangulos

PROBLEMA 2
A) Demostrar que en cualquier triángulo se cumple que: $b \cdot c = 2R \cdot h_a$, siendo $b$ = lado opuesto al vértice $B$, $c$ = lado opuesto al vértice $C$, $R$ = radio de la circunferencia circunscrita al triángulo y $h_a$ = altura del triángulo correspondiente al vértice $A$.

B) Suponiendo que sea $H$ el ortocentro del triángulo (punto donde se cortan las 3 alturas correspondientes a cada vértice). Demostrar que su simétrico $H'$ respecto al lado $a$ (lado opuesto al vértice $A$), está en la circunferencia circunscrita al triángulo (esa de radio $R$ mencionada en el apartado anterior).

Adjunto dibujo

[alefriz]

Re: uno de triangulos

Hola,

PROBLEMA 1
Un jugador de fútbol corre con el balón desde el centro del campo hacia uno de los corner. La porteria mide una longitud $a$ de poste a poste, y la distancia del poste más cercano al corner hacia el que se dirige el jugador es $b$. Calcular el punto exacto desde donde el jugador (que corre en línea recta desde el centro del campo al corner) tiene mayor posibilidad de meter gol.

Venga.... no es tan complicado.
Este me cayó en Selectividad, en el examen de dibujo (1996).

[alefriz]

Re: uno de triangulos

Venga.... no es tan complicado.
Este me cayó en Selectividad, en el examen de dibujo (1996).

Dos pistas: Arco capaz / potencia respecto a una circunferencia

[alefriz]

Re: uno de triangulos

Dos pistas: Arco capaz / potencia respecto a una circunferencia

El punto de mayor posibilidad (punto T) de meter gol, en la trayectoria del Ronaldinho de turno, es desde donde se ve la portería bajo un ángulo mayor.

Es decir, la trayectoria (centro campo - corner) deber ser tangente al arco capaz de segmento la distancia entre palos de la porteria, $a$.

Llamando punto O al corner, punto A al palo más alejado del corner y punto B al palo más cercano al corner, tendremos que la potencia desde O a la circunferencia (arco capaz) tangente a la trayectoria es:

$OT^2 = OA \cdot OB = (a+b) \cdot b$
$OT = \sqrt{(a+b) \cdot b}$