1r ciclo Dimensión de un espacio vectorial

[arreldepi]

Hola, tengo algunas dudas relacionadas con la dimensión de un espacio vectorial que me gustaría aclarar:

1. La dimensión de un espacio vectorial creado por una matriz, por ejemplo 3x4, es 12? Es decir, la dimensión de un espacio vectorial creado por una matriz, es el número de filas por el número de columnas?

2. En cuanto al espacio vectorial de los polinomios, si tenemos un polinomio de grado n, la dimensión es n+1? (aquí no sé si confundo un concepto, pero tiene algo que ver el espacio vectorial de los polinomios con las funciones, f(x), de toda la vida?)



Muchísimas Gracias!!

[alespa07]

Re: Dimensión de un espacio vectorial

Hola, tengo algunas dudas relacionadas con la dimensión de un espacio vectorial que me gustaría aclarar:

1. La dimensión de un espacio vectorial creado por una matriz, por ejemplo 3x4, es 12? Es decir, la dimensión de un espacio vectorial creado por una matriz, es el número de filas por el número de columnas?

2. En cuanto al espacio vectorial de los polinomios, si tenemos un polinomio de grado n, la dimensión es n+1? (aquí no sé si confundo un concepto, pero tiene algo que ver el espacio vectorial de los polinomios con las funciones, f(x), de toda la vida?)



Muchísimas Gracias!!

Hola arreldepi. A ver, no es tan sencillo. Cojamos tu ejemplo de las matrices $M_{3\times 4}(\mathbb{R})$. La dimensión del espacio vectorial que forman estas matrices sin ninguna restricción sobre sus componentes es 12 como bien has dicho. Esto viene del hecho de que una base de dicho subespacio esta constituida (es su base natural) por 12 matrices elementales ( son las matrices cuyas componentes son todas nulas menos una que es la unidad). En efecto, generan el espacio vectorial y son linealmente independientes. Ahora bien, si tuvieses una restricción sobre los coeficientes, por ejemplo que $a_{ij}=\alpha$ con $i\neq j$ y $a_{ii}=\beta$, puedes comprobar que la dimensión del espacio vectorial es 2 y no 12 (compruébalo).

En cuanto a los polinomios, son funciones pero especiales (no son todas la funciones ni mucho menos). Un polinomio de grado n se suele escribir como:

$P(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots+a_nx^n$

La dimensión de este espacio vectorial es efectivamente $n+1$. Para verlo, puedes comprobar que $\{1,x,x^2,\cdots,x^n\}$ es una familia generadora y que sus elementos son linealmente independientes. Por ello, tienes una base del espacio vectorial con n+1 elementos y la dimensión es, como consecuencia, n+1.

No sé si con esto he conseguido despejar tus dudas. Si no es así, no dudes en volver a postear.

Saludos.