¿Cómo podría identificar una Ecuación Diferencial?

[galaxy]

Verán he estado leyendo sobre este tema, y me doy cuenta que podemos identificar las ecuaciones diferenciales de acuerdo a su tipo, orden, grado y linealidad.

En las primeras tres características que describí no tengo problema en identificarlas, solo que, al preguntarme ¿Cuál es su linealidad?, es donde empieza la confusión.

Sé que una Ecuación Diferencial es lineal cuando:
1.- La variable dependiente "y" y todas sus derivadas son de grado uno.
2.- Los coeficientes de la variable dependiente "y" y de todas las derivadas están en términos de la variable independiente x, o bien, son constantes.

Pondré unos ejemplos para dejarlo mas claro.

Ejemplo 1.-

(1-y)y'+2y=e^(x)

Esta Ecuación no se considera lineal puesto a que el coeficiente (1-y) depende de "y" y no de x.

Ejemplo 2.-

y''+sen(y)=0

Esta Ecuación se considera no lineal debido a que "sen(y)" es un termino no lineal.

Ejemplo 3.-

y''=\sqrt{1+(y')^(2)}

el ejemplo me dice: Esta ecuación no es lineal. ¿Por qué?, ¿quizá por que y' esta elevada a un exponente al cuadrado?.

Ejemplo 4.-

(sen\theta )y'''-(cos\theta )y'=2

El ejemplo me dice: Esta ecuación es lineal. Y yo me pregunto ¿Por que?, si en el Ejemplo 2 me dice que "sen(y)" es un termino no lineal. Osea que las Ecuaciones lineales no usan funciones trigonométricas. En este Ejemplo 4 se utilizan dos funciones trigonométricas como coeficientes, es por eso que me pregunto: ¿Por que es lineal?

Otra de mis preguntas es: ¿Se toman en cuenta ambos términos de la ecuación al momento de identificarla? Quiero decir ambos términos de la ecuación, separados por el signo " = ".

De antemano se los agradezco.

[horxata]

Re: ¿Cómo podría identificar una Ecuación Diferencial?

Ejemplo 3.-

y''=\sqrt{1+(y')^(2)}

el ejemplo me dice: Esta ecuación no es lineal. ¿Por qué?, ¿quizá por que y' esta elevada a un exponente al cuadrado?.

Ejemplo 4.-

(sen\theta )y'''-(cos\theta )y'=2

El ejemplo me dice: Esta ecuación es lineal. Y yo me pregunto ¿Por que?, si en el Ejemplo 2 me dice que "sen(y)" es un termino no lineal. Osea que las Ecuaciones lineales no usan funciones trigonométricas. En este Ejemplo 4 se utilizan dos funciones trigonométricas como coeficientes, es por eso que me pregunto: ¿Por que es lineal?

Otra de mis preguntas es: ¿Se toman en cuenta ambos términos de la ecuación al momento de identificarla? Quiero decir ambos términos de la ecuación, separados por el signo " = ".

De antemano se los agradezco.

El 3er ejemplo es no lineal como bien has dicho porque una o más de sus derivadas esta elevada al cuadrado (la ecuación equivalente es y''^2 - y'^2 - 1 = 0, homogénea(las derivadas e y nunca aparecen multiplicadas por x).

En el 4º ejemplo supongo que la variable independiente es theta, no x, por lo que solo tienes coeficientes que dependen de theta, luego es lineal.

Se toma en cuenta toda la ecuación. Las formas generales que vienen en los libros para identificarlas son generales, por ejemplo una lineal siempre se puede escribir como:



Osea que las lineales siempre se puede escribir como un operador que solo tenga derivadas o la variable independiente (o sus productos) actuando sobre y. Es decir, el operador es lineal ya que su actuación es lineal, como la de una integral (la integral de una suma = suma de las integrales). Todas las ED restantes reciben el nombre de no lineales por ese motivo.