volumen de una esfera mediante el cálculo integral

[Julián]

El volumen de una esfera es:

$V= \frac{4\pi {r}^{3}}{3 }$

si intento llegar a esa formula mediante el cálculo integral, especialmente en coordenadas esféricas:

${\int}_{0 }^{r} {\int}_{0}^{2\pi} {\int}_{0}^{\pi} d\varphi d\theta d\rho$

$={\int}_{0 }^{r} {\int}_{0}^{2\pi} \pi d\theta d\rho$

$={\int}_{0 }^{r} 2 {\pi}^{2} d\rho$

$= 2 {\pi}^{2}r$

¿por qué llego a una fórmula diferente?¿que es lo que no estoy viendo?

saludos.

[javier m]

Re: volumen de una esfera mediante el cálculo integral

Porque $\dd V$ no es $d\varphi d\theta d\rho$, sino que es $\rho^2 \sin \varphi d\varphi d\theta d\rho$.
Intenta ver el porqué es así, y no como tu pusiste mirando la siguiente imagen (halla el volumen del "pedacito de esfera" de la figura)



${\int}_{0 }^{r} {\int}_{0}^{2\pi} {\int}_{0}^{\pi} \rho^2 \sin\varphi d\varphi d\theta d\rho=(\cos 0- \cos \pi )(2\pi)(\frac13 r^3)=\frac43 \pi r^3$

[Cat_in_a_box]

Re: volumen de una esfera mediante el cálculo integral

Hola,

Yo te doy una razón ''menos geométrica'' que la de Javier, si bien ambas son perfectamente válidas. El principal error que cometes al escribir la integral de volumen es que ¡se te olvida el jacobiano! Recuerda la fórmula para el cambio de variable para integrales triples:

$$\iiint_W f(x,y,z)\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z=\iiint_{W^*} f(x(u,v,w),y(u,v,w),z(u,v,w)\mathsymbol{J}\mathrm{d}u\mathrm{d}v\mathrm{d}w$$

En la expresión anterior $\mathsymbol{J}$ es el valor absoluto del determinante jacobiano. Centrándonos en tu caso, como las coordenadas esféricas son ortogonales, el jacobiano no es más que el producto de los factores de forma, luego:

$$\mathsymbol{J}=\frac{\partial (x,y,z)}{\partial (r,\theta,\phi )}=h_rh_\theta h_\phi= r^2\sin\theta$$

Luego la expresión (1) te queda:

$$\iiint_W f(x,y,z)\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z=\iiint_{W^*} f(r\sin\theta\cos\phi,r\sin\theta\sin\phi,r\cos\phi)r^2\sin\theta\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta\mathrm{d}\phi$$

Lo que te ha indicado Javier es por tanto el método geométrico para obtener el jacobiano de la transformación, que combinado con los diferenciales, es lo que normalmente llamamos ''diferencial de volumen''.

Saludos,