Otras carreras duda calculo(derivabilidad)

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Hola adjunto el archivo completo.Mi problema es en el ejercicio 3, te piden estudiar la derivabilidad de la funcion a trozos, y luego la derivabilidad de la funcion derivada esa( vamos, la derivada segunda). Hago la primera y todo bien, y luego para hacer la segunda, parto de:

----- (.....((x/(1+x))-ln(1+x))/x^2 si x distinto de 0
f'(X)= (
---- -( 0 si x igual a 0

Estudio la continuidad y me da discontinua, por lo que no es derivable, pues en la solucion(tambien en el archivo adjunto) hace algo que no entiendo y dice que es dos veces derivable. Si alguien puede explicarmelo le estaria agradecido.
Muchas gracias.cal1_jul_11.pdfcal1_jul_11.pdfcal1_jul_11.pdf

[arivasm]

Re: duda calculo(derivabilidad)

Estudio la continuidad y me da discontinua, por lo que no es derivable

Si te refieres a la función del enunciado, sí es continua en x=0. Aplicaré la regla de L'Hôpital para mostrarlo claramente:

$\dst\lim_{x \to 0}\dst \frac{\ln (1+x)}{x} = \dst\lim_{x \to 0}\dst \frac{\frac{1}{1+x}}{1}=1$

que es el valor de la función en x=0.


Sin embargo, me da la sensación de que en el texto de tu post que acabo de señalar te refieres a la primera derivada, y entonces veremos que estás equivocado, pues f' sí es continua en x=0.

Comencemos por la definición de f' para $x \neq 0$. Podemos aplicar la misma estrategia y ver qué limite tiene para x=0

$\dst\lim_{x \to 0} f'(x)=\lim_{x \to 0} \dst \frac{x-(1+x)\ln (1+x)}{x^2(1+x)}=\lim_{x \to 0} \dst \frac{-\ln (1+x)}{2x+3x^2}=\lim_{x \to 0} \dst \frac{-\frac{1}{1+x}}{2+6x}=-\frac{1}{2}$

y está claro que este límite será el mismo por la derecha que por la izquierda.

Para demostrar que la derivada es continua nos falta comprobar que ése es también el valor de f' que corresponde al punto x=0 y aquí es donde veo que tienes el error:

...para hacer la segunda, parto de:

----- (.....((x/(1+x))-ln(1+x))/x^2 si x distinto de 0
f'(X)= (
---- -( 0 si x igual a 0

Lo que he marcado en rojo no es correcto. Piensa que en la definición que te dan para la función el 1 sólo es el valor de la función en x=0. Es decir, no es una función definida por tramos, sino que posee un único punto definido de un modo diferente.

Para determinar el valor de la función derivada en dicho punto podemos aplicar la propia definición de derivada:

$f'(0)=\dst\lim_{h \to 0}\dst\frac{f(0+h)-f(0)}{h}=\lim_{h \to 0}\dst\frac{\frac{\ln(1+h)}{h}-1}{h}=\lim_{h \to 0}\dst\frac{\ln(1+h)-h}{h^2}$

Como este límite es una indeterminación de la forma 0/0, podemos recurrir al mismo truco de antes, la regla de L'Hôpital:

$f'(0)=\dst\lim_{h \to 0}\dst\frac{\frac{1}{1+h}-1}{2 h}=\lim_{h \to 0}\dst\frac{-h}{2 h(1+h)}=\lim_{h \to 0}\dst\frac{-1}{2(1+h)}=-\frac{1}{2}$

que coincide con los límites de la definición de f' para $x\neq 0$

Llegados a este punto, si le echas un vistazo a la solución que te dan verás que han hecho exactamente lo mismo: han determinado f'(0) con la definición de derivada. Eso sí, en vez de h han escrito x.

Donde usan una estrategia claramente diferente ha sido que en vez de usar la regla de L'Hôpital para manejar los límites que conducen a indeterminaciones de la forma 0/0, han recurrido al polinomio de Taylor de orden 2 de la función $\ln (1+x)$en torno a x=0.

En mi opinión es un procedimiento perfectamente válido, por supuesto, salvo que tiene el problema de que habrá unos cuantos estudiantes que dirán eso de "a mí no se me habría ocurrido", que quizá sea lo que te haya pasado a ti.

Saludos!