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[FONT=Verdana]Lobachevski podría haberse dedicado a ser el galán de moda: Mirada penetrante, nariz recta y labios de curvas desdeñosas. A eso responde una amiga diciendo que no es más que el típico ruso: Mirada penetrante para poder escrutar entre la niebla, labios apretados y curvos por congelación de los músculos faciales, y nariz recta para que cuando le caigan los copos de nieve, se deslicen por la pendiente a modo de tejado.[/FONT]
[FONT=Verdana]El caso es que Lobachevski decidió dedicarse a las matemáticas y resolvió un problema que traía en jaque a los matemáticos desde los tiempos de Euclides: La independencia del postulado de las paralelas. Este proceso se llevó a cabo creando una teoría sustituyendo el quinto postulado euclidiano por otro incompatible con el de la geometría euclidiana. Lejos de dejar obsoleto el paradigma euclídeo, reafirma su lugar privilegiado respecto a otras geometrías, dado que la consistencia de las nuevas geometrías depende de la consistencia de la geometría euclídea. [/FONT]
[FONT=Verdana]El quinto postulado reza lo siguiente:[/FONT]
[FONT=Verdana]5. [/FONT][FONT=Verdana]Pasando por un punto exterior a una recta dada L se puede trazar una y solo una línea paralela a ella.[/FONT]
[FONT=Verdana]Hay dos posibles maneras de negar este postulado:[/FONT]
[FONT=Verdana]5* Pasando por un punto exterior a una recta dada L no hay ninguna línea paralela a L.[/FONT]
[FONT=Verdana]5** Pasando por un punto exterior a una recta dada L hay al menos dos líneas paralelas a L.[/FONT]
[FONT=Verdana]Lobachevski sustituyó el 5º postulado por su negación en la forma 5**, dando lugar a la geometría hiperbólica. Si sustituyéramos por el 5* nos encontraríamos con la geometría elíptica.[/FONT]
[FONT=Verdana]Para una descripción de la geometría de Lobachevski me remito al excelente post de Pepe Campana.[/FONT]
[FONT=Verdana]Llegados a este punto debo hacer un inciso al hilo del debate de Pepe Campana y Cuervo. La realidad física es un claro condicionante que afecta al desarrollo de la actividad matemática. Unas veces lo hace a favor, pero otras veces lo hace en contra. El ejemplo por antonomasia condicionante negativo es el de Saccheri, del cual ya nos hablaba Pepe Campana en su post. [/FONT]
[FONT=Verdana]Saccheri abordó el problema de las paralelas convencido de la verdad de la geometría de Euclides, de tal forma que intenta demostrar el quinto postulado a partir de los otros cuatro, llegando a las tres posibilidades ya mencionadas:[/FONT]
[FONT=Verdana](1) Que ambos sean ángulos obtusos, [/FONT]
[FONT=Verdana](2) que ambos sean ángulos rectos, y [/FONT]
[FONT=Verdana](3) que ambos sean ángulos agudos.[/FONT]
[FONT=Verdana]Saccheri llegaría a afirmar “la hipótesis del ángulo agudo es absolutamente falsa porque repugna a la naturaleza de la línea recta”. Una de las convicciones que llevan a Saccheri a descartar la posibilidad de los ángulos agudos se podría condensar del siguiente modo: La geometría es una ciencia verdadera y sus proposiciones deben cumplirse en la realidad.[/FONT]
[FONT=Verdana]Tal convicción era inconsciente, dado que si la hubiera hecho patente podría haber caído en la cuenta de que pudiera haber dos geometrías (lo que exigiría dos espacios físicos). Los límites del conocimiento reconocido en la época fueron el mayor impedimento para que Saccheri pudiera concluir su investigación del modo que cabía esperar. La solidez de sus convicciones epistemológicas le vetó el camino hacia la geometría no euclídea, cuando tenía prácticamente su descripción delante de los ojos.[/FONT]
[FONT=Verdana]Lobachevski, Bolyai y Riemann afrontaron el problema de las paralelas sin prejuicios, con notable mayor éxito que Saccheri o el propio Gauss, ya que éste no se atrevió a publicar sus meditaciones por sus prejuicios kantianos.[/FONT]
[FONT=Verdana]Sin más dilación paso a hablar de algunos modelos geométricos. El modelo para la geometría euclidiana es el mundo real, pero ¿tenía la geometría de Lobachevski un modelo que la perpetuase como teoría consistente? Sí, de hecho hay varios:[/FONT]
[FONT=Verdana]Unos 30 años después de Lobachevski, en una memoria de 1887, Henri Poincaré (1854-1912) describió el ahora conocido como disco de Poincaré. Los puntos de este modelo son los puntos dentro de una circunferencia (los puntos de la circunferencia no forman parte del espacio), y las líneas son arcos circulares que intersecan ortogonalmente con la frontera del círculo.[/FONT]
[FONT=Verdana]Observemos que en este modelo todos los diámetros son líneas y que los arcos n y r son líneas que se cortan en un punto, mientras que la línea m es paralela a r y n. En este disco define Poincaré una distancia de tal modo que la distancia de cualquier punto a la frontera es infinita. Así, distancias que en la geometría euclídea son finitas, en la hiperbólica son infinitas. Los ángulos se miden por sus valores como ángulos euclidianos.[/FONT]
[FONT=Verdana]De este modo, se cumplen los primeros cuatro axiomas de Euclides pero no el postulado de las paralelas, pues como ya podemos observar en la figura, l y m son paralelas a n.[/FONT]
[FONT=Verdana]Veamos ahora un ejemplo de triángulo: [/FONT]
[FONT=Verdana]El caso es que Lobachevski decidió dedicarse a las matemáticas y resolvió un problema que traía en jaque a los matemáticos desde los tiempos de Euclides: La independencia del postulado de las paralelas. Este proceso se llevó a cabo creando una teoría sustituyendo el quinto postulado euclidiano por otro incompatible con el de la geometría euclidiana. Lejos de dejar obsoleto el paradigma euclídeo, reafirma su lugar privilegiado respecto a otras geometrías, dado que la consistencia de las nuevas geometrías depende de la consistencia de la geometría euclídea. [/FONT]
[FONT=Verdana]El quinto postulado reza lo siguiente:[/FONT]
[FONT=Verdana]5. [/FONT][FONT=Verdana]Pasando por un punto exterior a una recta dada L se puede trazar una y solo una línea paralela a ella.[/FONT]
[FONT=Verdana]Hay dos posibles maneras de negar este postulado:[/FONT]
[FONT=Verdana]5* Pasando por un punto exterior a una recta dada L no hay ninguna línea paralela a L.[/FONT]
[FONT=Verdana]5** Pasando por un punto exterior a una recta dada L hay al menos dos líneas paralelas a L.[/FONT]
[FONT=Verdana]Lobachevski sustituyó el 5º postulado por su negación en la forma 5**, dando lugar a la geometría hiperbólica. Si sustituyéramos por el 5* nos encontraríamos con la geometría elíptica.[/FONT]
[FONT=Verdana]Para una descripción de la geometría de Lobachevski me remito al excelente post de Pepe Campana.[/FONT]
[FONT=Verdana]Llegados a este punto debo hacer un inciso al hilo del debate de Pepe Campana y Cuervo. La realidad física es un claro condicionante que afecta al desarrollo de la actividad matemática. Unas veces lo hace a favor, pero otras veces lo hace en contra. El ejemplo por antonomasia condicionante negativo es el de Saccheri, del cual ya nos hablaba Pepe Campana en su post. [/FONT]
[FONT=Verdana]Saccheri abordó el problema de las paralelas convencido de la verdad de la geometría de Euclides, de tal forma que intenta demostrar el quinto postulado a partir de los otros cuatro, llegando a las tres posibilidades ya mencionadas:[/FONT]
[FONT=Verdana](1) Que ambos sean ángulos obtusos, [/FONT]
[FONT=Verdana](2) que ambos sean ángulos rectos, y [/FONT]
[FONT=Verdana](3) que ambos sean ángulos agudos.[/FONT]
[FONT=Verdana]Saccheri llegaría a afirmar “la hipótesis del ángulo agudo es absolutamente falsa porque repugna a la naturaleza de la línea recta”. Una de las convicciones que llevan a Saccheri a descartar la posibilidad de los ángulos agudos se podría condensar del siguiente modo: La geometría es una ciencia verdadera y sus proposiciones deben cumplirse en la realidad.[/FONT]
[FONT=Verdana]Tal convicción era inconsciente, dado que si la hubiera hecho patente podría haber caído en la cuenta de que pudiera haber dos geometrías (lo que exigiría dos espacios físicos). Los límites del conocimiento reconocido en la época fueron el mayor impedimento para que Saccheri pudiera concluir su investigación del modo que cabía esperar. La solidez de sus convicciones epistemológicas le vetó el camino hacia la geometría no euclídea, cuando tenía prácticamente su descripción delante de los ojos.[/FONT]
[FONT=Verdana]Lobachevski, Bolyai y Riemann afrontaron el problema de las paralelas sin prejuicios, con notable mayor éxito que Saccheri o el propio Gauss, ya que éste no se atrevió a publicar sus meditaciones por sus prejuicios kantianos.[/FONT]
[FONT=Verdana]Sin más dilación paso a hablar de algunos modelos geométricos. El modelo para la geometría euclidiana es el mundo real, pero ¿tenía la geometría de Lobachevski un modelo que la perpetuase como teoría consistente? Sí, de hecho hay varios:[/FONT]
- [FONT=Verdana]En 1866, el italiano Eugenio Beltrami demostró que las geometrías hiperbólicas podían modelarse sobre la superficie de generada por la revolución de una curva tractriz alrededor de su propia asíntota. Esta superficie es conocida como pseudoesfera porque tiene curvatura constante negativa, mientras que la esfera tiene curvatura constante positiva. En este caso las líneas se identifican con geodésicas. [/FONT]
- [FONT=Verdana]La representación de Klein, también conocido como el modelo proyectivo del disco ó modelo de Beltrami-Klein, usa el interior de un círculo como plano hiperbólico, y las cuerdas como líneas del círculo.[/FONT]
- [FONT=Verdana]El modelo de Poincaré usa también el interior de un círculo plano, y en él las líneas rectas de la geometría hiperbólica vienen representadas por arcos de circunferencia que cortan el borde del círculo plano en ángulo recto.[/FONT]
[FONT=Verdana]Unos 30 años después de Lobachevski, en una memoria de 1887, Henri Poincaré (1854-1912) describió el ahora conocido como disco de Poincaré. Los puntos de este modelo son los puntos dentro de una circunferencia (los puntos de la circunferencia no forman parte del espacio), y las líneas son arcos circulares que intersecan ortogonalmente con la frontera del círculo.[/FONT]
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[FONT=Verdana]Observemos que en este modelo todos los diámetros son líneas y que los arcos n y r son líneas que se cortan en un punto, mientras que la línea m es paralela a r y n. En este disco define Poincaré una distancia de tal modo que la distancia de cualquier punto a la frontera es infinita. Así, distancias que en la geometría euclídea son finitas, en la hiperbólica son infinitas. Los ángulos se miden por sus valores como ángulos euclidianos.[/FONT]
[FONT=Verdana]De este modo, se cumplen los primeros cuatro axiomas de Euclides pero no el postulado de las paralelas, pues como ya podemos observar en la figura, l y m son paralelas a n.[/FONT]
[FONT=Verdana]Veamos ahora un ejemplo de triángulo: [/FONT]
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[FONT=Arial][FONT=Verdana](continuará)[/FONT][/FONT]
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