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En un avion con capacidad para 100 personas, el primer pasajero pierde su ubicacion, y decide sentarse en cualquier asiento al azar. Según van subiendo los demás, si su asiento esta libre lo ocupan, si esta ocupado ocupan otro al azar. Cuando llega el pasajero numero 100 ¿Qué probabilidad tiene de encontrar su asiento vacio?
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Re: El pasajero número cien (bostero)
Tal como está planteado, el problema no especifica si el primer pasajero puede o no sentarse en su lugar (aunque haya perdido la ubicación, tendría una probabilidad en 100 de atinarle). Vamos a suponer que esta es la interpretación correcta. Posteriormente voy a dar el resultado de la otra interpretación (que el primer pasajero no puede, ni por azar, sentarse en su propio lugar).
Si el primer pasajero (llamémoslo Juan) se sienta en el lugar de José (el último pasajero), entonces, sin importar lo que pase después, José habrá perdido su lugar, pero si Juan se sienta en su propio lugar, José tendrá asegurado su asiento, sin importar lo que pase después. La probabilidad de ambos eventos es la misma (1/100), de modo que tenemos 1/100 de perder su asiento con seguridad, 1/100 de asegurar su asiento y 98/100 de que no sea seguro ni lo uno ni lo otro. Así pues, cada pasajero que entra al avión tiene dos posibilidades: encontrar su asiento ocupado o vacío; si ocurre lo segundo no hay problema pues se sienta en él como dice el enunciado del problema, pero si lo encuentra ocupado tiene tres posibilidades: 1) sentarse en el lugar de Juan (evento afortunado), 2) en el de José (evento infortunado) o 3) en cualquiera de los demás asientos disponibles (evento indeterminado). Le llamo afortunado al evento que deja todo listo para que, a partir de él, el resto de los pasajeros encuentre su lugar libre y por lo tanto José también. Le llamo infortunado al evento que asegura que José no podrá sentarse en su lugar. El indeterminado es el que no es uno ni otro. Puesto que todos los pasajeros tienen las mismas posibilidades con las mismas probabilidades, podemos deducir que la probabilidad de que se ocupe el asiento de José es la misma de que se ocupe el de Juan. Esta probabilidad va cambiando conforme van entrando los pasajeros, pero siempre serán iguales entre sí. No importa la probabilidad de un evento indeterminado puesto que mientras estén desocupados los asientos de Juan y José, la probabilidad de que se ocupe uno u otro es siempre la misma. Al final tendremos que la probabilidad de que José encuentre su asiento vacío es de 50%.
Dejo para dentro de unos días la respuesta para el caso de que Juan no pueda sentarse, ni por azar, en su propio asiento. -
Re: El pasajero número cien (bostero)
Si el problema se interpretara como que Juan no puede sentarse en su lugar, entonces la probabilidad final sería un poco diferente: 50/99 de encontrar su lugar ocupado contra 49/99 de encontrarlo vacío. Esto resulta de que en todo momento las probabilidades de que el asiento de Juan sea ocupado son iguales a las de que el de José lo sea, salvo en el momento en que entra Juan al avión, porque si no se puede sentar en su lugar, la probabilidad de que se siente en el de José es de 1/99. Por lo tanto, la probabilidad de que José encuentre ocupado su asiento [P(O)] será 1/99 mayor a la de que lo encuentre libre [(PL)]. Como sólo hay esas dos posibilidades, sabemos que suman 1:
P(L) + P(O) = 1Y también sabemos que:
P(O) = P(L) + 1/99Por lo tanto
P(L) + P(L) + 1/99 = 1
2P(L) = 98/99
P(L) = 98/198 = 49/99
P(O) = 50/99Comentario
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