Cara o cruz (^Cuervo^)

[Machinegun]

Es un juego. El jugador lanza una moneda repetidamente hasta que salen dos caras consecutivas, cuando eso sucede, el juego termina y se cuentan las caras y las cruces que han salido hasta ese momento. Si el número de cruces es mayor que el de caras el jugador que lanza la moneda pierde, si por el contrario el número de caras es mayor o igual que el de cruces gana. Pregunta: Probabilidades de ganar o perder el juego?

Este es otro problema que tiene una ambigüedad en el planteamiento. Primero encontré una solución suponiendo que las dos caras que codifican el final del juego no contaban al hacer las cuentas de cuántas caras y cuántas cruces habían salido. Esta solución creo que es muy sencilla y favorece al jugador que no tira la moneda. Pero, leyendo con atención el enunciado, parece que la interpretación correcta es que esas dos caras sí cuentan en la cuenta (valga la torpe expresión) de caras y cruces, por lo que el problema se vuelve mucho más complicado. Tengo también una solución para este caso, pero no estoy seguro de que sea correcta. Si nadie propone una solución, dentro de tres días postearé la que considero sencilla. Unos días después, si no hay alguna otra propuesta, postearé el desarrollo de la solución complicada, es decir, la que según creo es la que corresponde a la interpretación más correcta (las caras finales cuentan en la cuenta).

[Machinegun]

Re: Cara o cruz (^Cuervo^)

Si las dos caras que codifican el final del juego no cuentan en el cálculo de caras y cruces que corresponden a cada jugador, tenemos que es imposible que el jugador que lanza la moneda (A) llegue a tener más puntos que su contrincante (B), de modo que la única forma que tiene A de ganar es que ambos tengan los mismos puntos. ¿Que probabilidades hay de que ocurra este resultado? Puesto que la partida más corta sería la que consiste en el resultado CC, es decir, que caigan dos caras seguidas y de ese modo, al tener ambos el mismo número de puntos (en este caso 0) gana A, analicemos qué puede ocurrir en los primeros dos lanzamientos de un juego:

• CC
• C+
• +C
• ++

Ya vimos que en el primero gana A; ahora vemos que en los dos últimos gana B, porque si el juego comienza con una cruz no hay forma posible de que A le dé alcance (ya que en cuanto cayeran dos caras acabaría el juego y esas caras no contarían a su favor). Así tenemos que de los cuatro casos posibles, dos son para B y uno para A. ¿Qué ocurre con el otro resultado? Si sale C+, estamos como al principio, puesto que no hay nada para nadie, es decir, que podemos olvidarnos de esa posibilidad y limitarnos a considerar sólo 3 resultados equiprobables. Por lo tanto, tenemos que la probabilidad de A es 1/3 y la de B es 2/3. Si así se interpreta el resultado y alguien quiere jugar un juego, lo invito a que lance la moneda. Pero si se interpreta del otro modo (que en el cómputo sí cuentan las caras que indican el fin del juego), entonces me ofrezco a ser el que lleve la pesada tarea de lanzar las monedas. ¿Alguien juega?

[Machinegun]

Re: Cara o cruz (^Cuervo^)

Jajajaja, ahora que releo el planteamiento del problema advierto que en ningún momento se refiere a dos jugadores, sino a uno solo. Es un solitario, pues. Y eso que leí varias veces el texto buscando alguna pista para resolver si las caras finales contaban o no. Sin embargo, mi confusión no afecta en absoluto la solución propuesta puesto que supuse que era un juego de suma cero. Pero no deja de ser divertido cómo a veces entendemos no lo que leemos, sino lo que nos da la gana.

[Machinegun]

Re: Cara o cruz (^Cuervo^)

Si las caras finales cuentan en el cómputo, determinar la probabilidad es un poco más laborioso. Por ahora no dispongo de mucho tiempo para exponer el desarrollo, pero ya lo haré otro día. Sólo digo que no se usan fórmulas matemáticas, sino unos cuantos quebrados y un razonamiento que tal vez pueda tener alguna falla. El caso es que la probabilidad de ganar me resulta 19/27, contra 8/27 de perder. Es casi la contraria a la del caso en que no se cuentan las caras en el cómputo final, pero no exactamente (por 1/27 no se da la coincidencia). Voy a preguntar a algún estudioso de la probabilidad si mi resultado es correcto.

Saludos

[Machinegun]

Re: Cara o cruz (^Cuervo^)

Había prometido postear el desarrollo de este problema y apenas hoy encontré tiempo. Aquí va:

Para encontrar la probabilidad en el caso de que las caras cuenten vamos a considerar probabilidades de cada dos tiradas (porque el juego mínimo es de dos tiradas: CC). Así tenemos tres posibilidades como en el caso anterior:

CC ZC ZZ (cambié el símbolo de cruz que usé en post anteriores por una Z).

Descartamos el caso CZ porque deja al jugador exactamente igual que al principio, en cambio ZC no lo deja igual, como veremos más adelante. Entonces tenemos tres casos equiprobables. Podemos llamar “estados” a situaciones idénticas que nos conducen a las mismas probabilidades; así tenemos dos “estados provisionales” (ZC y ZZ) y un “estado final” (CC). Realmente hay otro estado final (ZZZ), aquel en el que el jugador pierde, porque si obtiene tres cruces seguidas no habría manera de recuperarse sin que acabara el juego (por cada cara que saliera saldría una cruz o bien otra cara y se acabaría el juego).
Ahora analicemos lo que ocurre en cada estado.

• Ya sabemos que CC gana y su probabilidad es de 1/3.

• En el estado ZZ, el jugador estaría a ½ de perder (ZZZ), a ¼ de ganar (ZZCC) y a ¼ de quedar exactamente igual (ZZCZ), por lo tanto podemos considerar que partiendo del estado ZZ está a 2/3 de perder y 1/3 de ganar.

Recapitulemos hasta donde vamos:

• La probabilidad de que gane en los dos primeros lanzamientos (CC) es 1/3.
• La probabilidad del estado ZZ es 1/3 y partiendo de ahí, la probabilidad de ganar (ZZCC) es 1/3 y la de perder (ZZZ) es 2/3.

Nos falta analizar lo que ocurre con el estado ZC. En él, el jugador se encuentra a ½ de ganar (ZCC), a ¼ de quedar exactamente igual (ZCZC) y a ¼ de quedar en el estado ZZ (ZCZZ). Procedemos de la misma manera, eliminando la opción que nos deja igual y recalculando las probabilidades, de modo que en el estado ZC tenemos 2/3 de probabilidades de ganar y 1/3 de pasar al estado ZZ.

Antes de calcular las probabilidades finales, advirtamos que al estado ZZ se puede acceder por dos vías, la original y la que pasa por el estado ZC, así, las probabilidades de los estados provisionales son:

ZC = 1/3
ZZ = 1/3 + (1/3 ×1/3) = 4/9

Ahora sí calculamos las probabilidades finales:

Para ganar tenemos:
CC = 1/3
ZCC = 1/3 × 2/3 = 2/9
ZZCC = 4/9 × 1/3 = 4/27

Por lo tanto la probabilidad de ganar es:
1/3 + 2/9 + 4/27 = 19/27

Mientras que se pierde con:
ZZZ = 4/9 × 2/3 = 8/27


Puede ser que haya algún error en mi razonamiento, pero hasta ahora no lo he podido encontrar, así como tampoco he encontrado a un experto en probabilidades que certifique con métodos matemáticos si la solución es correcta. Pero en fin, esto es lo que encontré y espero haber podido explicarlo satisfactoriamente.

Saludos