Un cableado particular ([ajotatxe])

[Machinegun]

Tenemos un pasillo de 12m de largo por 2m de alto por 2m de ancho. En una de las paredes 2x2 hay una lámpara, a 1m de cada lado y a 0,5m del techo, en la de enfrente hay un interruptor a 1m de cada lado y a 0,5m del suelo. El problema es unir el interruptor con la lámpara con un cable que sea lo más corto posible y el más corto posible mide menos de 14m. El cable no puede ir por el aire.

[Al2000]

Re: Un cableado particular ([ajotatxe])

Yo no debo ser muy ingenioso porque no veo la dificultad (la trampa). Yo pues usaría un cable de unos 14.4 m para dejar cierta holgura en las conexiones.

Saludos,

Al

[Machinegun]

Re: Un cableado particular ([ajotatxe])

Hola Al2000, la dificultad estriba en que el enunciado pide un cable de menos de 14 m. Es un problema sorprendente y ni siquiera sé si hay una solución óptima. Yo encontré una que da 13.879 m(milímetros más, milímetros menos).

Saludos

[Al2000]

Re: Un cableado particular ([ajotatxe])

Hola Al2000, la dificultad estriba en que el enunciado pide un cable de menos de 14 m.

Si es así, la proposición debería decir que "el (cable) mas largo disponible mide menos de 14 m" y no que el mas corto mide menos de 14 m. A mi no me importa cuanto mide el mas corto, así fuese un pedacito de 1 cm.

Saludos,

Al

[Machinegun]

Re: Un cableado particular ([ajotatxe])

Si es así, la proposición debería decir que "el (cable) mas largo disponible mide menos de 14 m" y no que el mas corto mide menos de 14 m. A mi no me importa cuanto mide el mas corto, así fuese un pedacito de 1 cm.

Saludos,

Al

Bien dicho, entonces ya resolviste el problema. ¡Felicidades!

[Machinegun]

Re: Un cableado particular ([ajotatxe])

El primer resultado que encontré fue meramente intuitivo y era de 13.767 m (no los 13.879 que, por un pequeño error de cálculo, dije la vez pasada). Refinando un poco el razonamiento, encuentro tal vez el resultado óptimo, es decir el cable más corto posible (no el más corto disponible). El resultado intuitivo se obtiene de la siguiente manera. Sacamos del foco un cable verticalmente hacia el techo, de ahí dirigimos la línea hacia una de las paredes laterales hasta tocarla en su punto medio, de ahí bajamos avanzando por dicha pared hacia la pared del interruptor hasta alcanzar ésta a 0.5 m del piso, y de ahí en línea recta hasta el interruptor. Si hacemos las cuentas de las hipotenusas nos resultan los 13.767 m que había apuntado arriba. Ahora bien, si tenemos en cuenta que uniformando los ángulos podemos tener un cable más corto, sumamos entonces todo lo que “subimos” y todo lo que “avanzamos” para encontrar el ángulo requerido. Procedemos de la siguiente manera para determinar los catetos: si tomamos como base la pared lateral y abatimos el techo 90 grados de tal manera que formen un solo plano (llamado plano Lateral-Techo) y al abatir el techo nos llevamos “pegada” la pared del foco para luego abatir ésta también de modo que forme parte del plano Lateral-Techo (que ahora llamaremos Foco-Lateral-Techo), y finalmente abatimos la pared del interruptor para que también se integre al plano ahora llamado Foco-Lateral-Techo-Interruptor, digo, si hacemos todos estos abatimientos, tendremos un punto en el lado, digamos izquierdo superior (el foco) y otro punto en el lado inferior derecho (el interruptor) que podemos unir con una recta, que sería la hipotenusa cuyos catetos son 13.5 el horizontal y 2.5 el vertical. El primero está formado por los 0.5 m del foco al techo + 12 m de la pared lateral y el techo (plano Lateral-Techo) + 1 m de la pared lateral al interruptor, mientras que el segundo está formado por los 1.5 m de la pared lateral + 1 m del techo. Así, por trigonometría obtenemos el ángulo general de 10.4914. O sea que para usar el cable más corto posible tendríamos que tirar la línea siempre en un ángulo de esa magnitud. Entonces en lugar de sacar del foco el cable en línea vertical hacia el techo, lo inclinamos 10.4914 grados hacia la pared por la que luego vamos a llevar la línea. Lo demás es coser y cantar. No sé si con cálculos avanzados de matemáticas se pueda obtener un resultado mejor. Por lo pronto, el que propongo es la hipotenusa de los catetos 2.5 y 13.5, es decir, 13.729 m. Mmm, tanto cálculo para ganar 38 raquíticos milímetros… mejor nos hubiéramos conformado con el resultado intuitivo.

[ser humano]

Re: Un cableado particular ([ajotatxe])

Que buen problema.
Si la habitacion se descompone en sus paredes, para graficarlas en un plano, una de las formas es la siguiente (grafico conforme a la tecnologia de paint ):


Los puntos rojos representan la ubicacion de la lampara y del interruptor. Notar que en el grafico, ambos puntos estan lo mas cercanos posibles a las paredes largas, esto sucede porque uno de los puntos debe quedar arriba en el caso de "armar" la habitacion con dicho esquema. Si se traza la recta que trace en verde, se pude armar un triangulo rectangulo y terminar notando que la longitud de dicha recta es de $\sqrt { 4^2 + 13^2} \approx 13.6m$

[Machinegun]

Re: Un cableado particular ([ajotatxe])

Hola, ser humano, creo que hay una imprecisión en tu dibujo. Según yo, el cable mínimo es la raíz cuadrada de la suma del cuadrado de 2.5 más el cuadrado de 13.5, es decir, aprox. 13.729 m. Anexo dibujo:


Espero que se aprecie el dibujo.

Saludos

[ser humano]

Re: Un cableado particular ([ajotatxe])

Pero en el dibujo que expuse, se puede notar como se puede seguir otra trayectoria y hacer un camino mas corto.
De derecha a izquierda, los rectangulos alargados serian:
piso - pared - techo -pared .

El interruptor tiene una distancia al piso de 0.5m . La lampara tiene una diferencia al techo de 0.5 m. Como el techo (y el piso) tienen 12 m de longitud, como se puede ver en ekl grafico, uno de los catetos del triangulo mide 13m. La diferencia horizontal es de 4 m, ya que el ancho de una de la pared es de 2m, y la distancia del interruptor y de la lampara a las paredes es de un metro cada una. Por lo tanto la distancia entre los puntos seria la suma de la raiz cuadrada de cuatro con la raiz cuadrada de trece, que da aproximadamente 13,6 .
Hay que notar que hay multiples formas de "desarmar" la habitacion, pero de todas ellas, en la que los puntos tienen menor distancia entre ellos (en el plano) es la forma en que expuse.

El problema es un excelente ejemplo de como influye en nustra vida las geometrias no euclidianas, en este caso, donde el plano tiene la forma de la habitacion. Por eso es que la geodesica ya no es una recta (y nosotros ironicamente para resolver el problema armamos un equivalente euclidiano de dicha habitacion y trazamos la recta, que en ese caso si es la geodesica).

Saludos

[Machinegun]

Re: Un cableado particular ([ajotatxe])

Excelente, ser humano, tienes razón. Es mejor tu propuesta, pensé que te habías equivocado, pero no, el equivocado era yo. Así que el cable toca 5 de los 6 lados y así se consigue el cable más corto. Felicidades por esa.

Saludos

[ser humano]

Re: Un cableado particular ([ajotatxe])

Gracias, pero la idea de pasar en lo posible los planos a planos euclideanos, no es mia, no me acuerdo donde la habia leido.

Saludos