Teoría de Números II (Radikal2_)

[Machinegun]

Encontrar el número de cinco cifras distintas que es igual a la suma de todos los de tres cifras que se pueden obtener tomando variaciones sin repetición de las cifras de él.

[ser humano]

Re: Teoría de Números II (Radikal2_)

Tengo una ecuacion de 5 incognitas naturales y diferentes entre ellas, que no se me ocurre como resolverla ¬¬

[Fabrixio]

Re: Teoría de Números II (Radikal2_)

El numero es 93240. Saludos Fabrix.

[Fabrixio]

Re: Teoría de Números II (Radikal2_)

Ahora va el razonamiento: Tenemos permutaciones de 3 cifras. Si tomamos un triplete de numeros por ejemplo {1,2,3}, y hacemos todas sus permutaciones siempre nos dara la suma de tales digitos por 222.
Por ejemplo :
1 2 3
1 3 2
2 1 3
2 3 1
3 1 2
3 2 1 = La suma nos da 6*222 = 123+132+...+321=1332 = (1+2+3)*222
Ahora tomamos aquellas pares de digitos comenzados en 1 que sean mayores que este, por ejemplo 1+2+3, 1+2+4,...,1+2+9, etc tenemos que sumar aquellos mayores al digito elegido (en este caso 1) para no repetir un conjunto de 3 digitos o tripleta de digtos y multiplicarlo por 222.
Para el 1 tenemos que podemos permutar 2 digitos mayores a él, es decir permutar en pares los numeros: 2,3,4,5,6,7,8 y 9. Esto nos da, como son 8 digitos tomados de a 2, = 8*7 = 56
Para el 2, solo nos queda 7 digitos, es decir 7*6 = 42
Para el 3, 6*5 = 30, y asi sucesivamente hasta el digito 7.

Nos queda 222*(1*56+2*42+3*30+.....+7*2)=222*(420) = 93240.

Saludos, Fabrix.

[Fabrixio]

Re: Teoría de Números II (Radikal2_)

Bueno, no se si esta bien, creo que me apure un poco jaja, saludos (creo que hay un error XP)

[Fabrixio]

Re: Teoría de Números II (Radikal2_)

Si creo que hay un error, ya me voy por ahora, lo dejo pendiente. Saludos, atte. Fabrix.

[Fabrixio]

Re: Teoría de Números II (Radikal2_)

Si ya, hay error porque no considere el 0 en las unidades y decenas. Ademas en las permutaciones de a pares, estoy repitiendo , por ejemplo (1) ,{2,3} y (1),{3,2}. Bueno ahi los dejo, en suspenso jej. :P

[Machinegun]

Re: Teoría de Números II (Radikal2_)

Hola, Fabrixio, según yo, el número es 35964, pero creo que mi razonamiento no anda tan alejado del tuyo. Mañana lo posteo, o si prefieres que me espere un poco más, sólo dilo. Debo decir que hice una pequeña trampita, que consistió en suponer que el cero no formaba parte del número. Hice esto porque se simplificaba mucho la tarea sin el cero, y pensé: "si no encuentro el número, pues no me va a quedar más remedio que incluir el cero". Pero resulta que sí encontré el número.

Saludos

[Machinegun]

Re: Teoría de Números II (Radikal2_)

Pensándolo mejor, creo que no hace falta recurrir a trampitas como la de ignorar el 0. Así pues, en este desarrollo no excluiré tan redonda cifra.

Para saber cuántos sumandos tiene la suma de los números de tres cifras, calculamos las permutaciones de 5 elementos tomados de 3 en 3, es decir, 5 × 4 × 3 = 60. Al colocar los 60 sumandos vamos a tener tres columnas. En la columna de las unidades vamos a tener una suma de 12 veces cada dígito, esto es, si el número buscado es abcde, donde cada letra simboliza un dígito, entonces vamos a tener una suma de

(12 × a) + (12 × b) + (12 × c) + (12 × d) + (12 × e),

que es igual a

12 × (a + b + c + d + e).

Y lo mismo ocurre en las columnas de decenas y de centenas, por lo tanto, tenemos que la suma total (el número de 5 cifras buscado) es:

12 × (a + b + c + d + e) + 120 × (a + b + c + d + e) + 1200 × (a + b + c + d + e),

es decir,

1332 × (a + b + c + d + e) = abcde.

Tenemos que buscar un número de 5 cifras que sea el resultado de multiplicar la suma de sus dígitos por 1332. Parece una tarea ardua, pero no lo es tanto, porque tenemos algunos trucos. Primero, sacamos el menor factor posible por el que tenemos que multiplicar 1332, es decir, la menor suma posible de 5 dígitos distintos: esta suma es por supuesto

0 + 1 + 2 + 3 + 4 = 10.

Y la mayor suma de dígitos posible sería

9 + 8 + 7 + 6 + 5 = 35.

Así, el menor número posible es 1332 × 10 y el mayor es 1332 × 35. ¿Tenemos que realizar 26 multiplicaciones y ver cuál de los resultados satisface las condiciones del problema? No necesariamente, porque sólo debemos probar con factores que sean múltiplos de 9. ¿Por qué? Bueno, porque si sabemos que el número buscado es múltiplo de 9 (por estar multiplicado por un múltiplo de 9, es decir, 1332), y como tenemos que multiplicar 1332 por un factor que sea la suma de los dígitos de abcde, lógicamente ese factor debe ser múltiplo de 9. Ahora bien, la suma de los dígitos de un número de 5 cifras distintas no puede ser mayor de 35 ni menor de 10, por lo tanto, los únicos múltiplos de 9 en ese rango son 18 y 27. Así pues, sólo debemos multiplicar 1332 por estos dos factores y ver cuál es el resultado que nos conviene:

1332 × 18 = 23976
1332 × 27 = 35964

Y si sumamos sus dígitos y los comparamos con el factor correspondiente, tenemos:

2 + 3 + 9 + 7 + 6 = 27 ≠ 18
3 + 5 + 9 + 6 + 4 = 27 = 27

Las sumas de los dígitos de ambos es igual a 27, pero sólo en un caso coincide con el factor por el cual se multiplicó 1332. Por lo tanto, llegamos a la conclusión de que ése es el número que buscamos. No dudo que haya un método más rápido y elegante de llegar al resultado, pero este que propongo parece funcionar.

Saludos

[ser humano]

Re: Teoría de Números II (Radikal2_)

Excelente!
Yo habia resuelto de igual forma hasta que me quedo

1332 × (a + b + c + d + e) = abcde.

En este punto habia escrito al numero abcde como 10000 a + 1000 b + 100 c + 10 d + e

y por lo tanto me quedaba la ecuacion:

8668 a - 332 b - 1232 c - 1322 d - 1331 e = 0

que era la ecuacion que les mencionaba.

Buena estrategia , no se si se me hubiese ocurrido.

Saludos