Las cuentas del collar ([ajotatxe])

[Machinegun]

Se ponen en una hilera (con dos extremos, vaya, que no es una cadena cerrada) 2n cuentas blancas y 2n negras; probar que podemos encontrar 2n cuentas consecutivas de las cuales n son blancas y n negras.

[Machinegun]

Re: Las cuentas del collar ([ajotatxe])

Creo que hay muchas maneras de hacer la demostración solicitada. Aquí expongo una, pero no dudo de que algún compañero del foro presente una mejor.

Para simplificar la exposición me referiré únicamente a las cuentas blancas, en el entendido de que con las negras ocurre lo simétrico.

Como el collar mide 4n, entonces, sólo pueden ocurrir tres cosas con la cantidad de las primeras 2n cuentas: a) que sean n blancas; b) que sean más de n, o c) que sean menos de n. Hasta aquí parece una explicación para niños. Bueno, continuemos por ese camino mientras se pueda. En el caso (a), se cumpliría la condición que se pide probar. Los casos (b) y (c) son simétricos, por lo que explicando uno de ellos tendremos bastante. Si llamamos “tren” a cualquier conjunto de 2n cuentas consecutivas, entonces vamos a tener muchos trenes diferentes (para ser exactos, 2n + 1). Si el tren inicial tiene menos de n cuentas blancas, digamos n – r, lógicamente el tren final va a tener n + r, puesto que las r que faltan en el primer tren deben estar en el último (simétricamente, si hay n + r en el primero, habrá n – r en el último). Supongamos entonces que el primer tren tiene n – r cuentas blancas. El segundo tren (el que comienza con la cuenta número 2) sólo difiere del primero en dos cuentas: la primera (que es la primera del primer tren) y la cuenta 2n +1 (que es la última del segundo tren). Por lo tanto, solo puede tener: a) el mismo número de cuentas blancas que el tren antecesor; b) una cuenta blanca más, o c) una cuenta blanca menos.

Eso es todo lo que hay que considerar, es decir, que si avanzamos de un tren a su inmediato sucesor, el número de cuentas blancas no puede variar en dos unidades, sino sólo en una o permanecer igual. Y a cada tren sucesivo le ocurre lo mismo respecto de su antecesor. Ahora sí, ya tenemos resuelto el problema: Si el tren inicial tiene n – r cuentas blancas y el tren final n + r, entonces si avanzamos de tren en tren, obviamente antes de llegar al último tiene que haber por lo menos uno en el que el número de cuentas blancas sea n, que es lo que se quería probar.

Saludos

[ser humano]

Re: Las cuentas del collar ([ajotatxe])

Es una buena resolucion .
Me alegra que hayas vuelto, se extrañaban tus problemas

Saludos

[Machinegun]

Re: Las cuentas del collar ([ajotatxe])

Te agradezco mucho tus palabras, amigo. Los problemas los tomo de la web del canal ingenio. Cuando creo que he resuelto uno, busco si no se ha tratado en alguno de los foros de este sitio y entonces lo posteo. Dejo dos o tres días para ver si alguien lo quiere resolver o si alguien me pide que me espere otro poco antes de postear mi propuesta de solución (ya ves que no siempre resulta la mejor). En fin, gracias nuevamente. Mientras pueda, seguiré posteando problemas.

Saludos

[ser humano]

Re: Las cuentas del collar ([ajotatxe])

Los problemas los tomo de la web del canal ingenio.

Acabo de ver la seccion, no sabia que existia. Gracias por el dato.

Saludos