Teoría de Números I(dj_jara)

[Machinegun]

¿Es posible dividir el conjunto M = {1,2,....,15} en dos subconjuntos A y B, de tal modo que A tenga 2 elementos, B tenga 13 y el producto de los elementos de A, sea igual a la suma de los elementos de B?

Ignoro si se tenga que saber de teoría de números para resolver elegantemente este reto. Yo creo que aun sin saber de ese tema, como es mi caso, sí se pueden aplicar dos o tres deducciones lógicas para reducir el campo sobre el que se busca la solución. Bueno, pues eso ofrezco para dentro de tres días, a menos que alguien presente antes una solución que haga inútil la mía. Adelanto que para mí la respuesta es que no se puede encontrar el par que se busca.

Saludos

[ser humano]

Re: Teoría de Números I(dj_jara)

Hola. Yo llego a la misma conclusion que vos. Supongo que hay muchas formas de darse cuenta, acá expongo la que yo implemente:

Primero calculo la suma de todos los numeros naturales hasta el 15, que resulta ser 120.
Entonces, como plantea el enunciado, busco dividir a el conjunto de numeros en uno de 13 y otro de 2. Llamemos a los elementos del grupo de cardinal 2 , $a$ y $b$ (notar que $a$ es necesariamente diferente de $b$, ya que de no ser asi, el subconjunto tendria cardinal 1).
La suma de los elementos del grupo de cardinal 13, sera la suma de los 15 menos el valor de $a$ y de $b$. Entonces las condiciones del enunciado se transcriben como:

$120-a-b=ab$

entonces:

$120=ab +a +b=a(b+1) + b=a(b+1) +(b +1) -1 =(b+1)(a+1)-1$

esto implica:

$121=(a+1)(b+1)$

Por la unicidad en la descomposicion en numeros primos:

$121= 11^2=(a+1)(b+1)$

Notar que $(a+1)$ y $(b+1)$ son diferentes de 1, ya que $a,b$ son diferentes de 0. Esto directamente implica que $(a+1)=(b+1)=11$ (creo que es notorio, de no serlo, podria aclararlo un poco mas haciendo enfasis en la imposibilidad de escribir al 11 como producto de numeros enteros diferentes de 1).
Es decir que llegamos a la conclusion de que necesariamente $a=b=10$, lo que es absurdo ya que $a$ y $b$ eran elementos diferentes.

Saludos

[Machinegun]

Re: Teoría de Números I(dj_jara)

Muy bien, ser humano, yo creo que tu propuesta es mejor que la mía, que va en un sentido muy diferente y ya no veo necesidad de postearla.

Saludos

[ser humano]

Re: Teoría de Números I(dj_jara)

Si mi opinion vale de algo () a mi me parece que seria favorable para todos ver los diferentes caminos por los que se puede resolver lo mismo. Personalmente, estoy interesado en ver otras resoluciones.

Saludos

[Machinegun]

Re: Teoría de Números I(dj_jara)

Hola, ser humano, me parece sensato lo que dices. Aunque sea menos elegante mi propuesta, aquí va. Lo primero que vi es que los dos números que buscamos tendrían que ser dos pares, porque el resultado de sumar todos los números es, como ya dijiste, 120. Es decir buscamos dos número a y b cuyo producto y cuya suma sean ambos pares o ambos nones. Por lo tanto, si a y b fueran nones ab sería non pero a + b sería par; y si fueran uno par y uno non, ab sería par, pero a + b sería non. En este punto descartamos todos los nones. Ahora vemos que el producto mínimo posible tendría que ser 120 – 14 – 12 = 94, por lo que podemos descartar todo número par menor de 6 (6 × 14 no llega a 94). Y nos quedamos con bien pocas posibilidades: 8 × 10 la descartamos por no llegar a 90; probamos 8 × 12 = 96 diferente de 100 (120 – 12 -8); 8 × 14 =112 diferente de 98. Y ya sabemos que 10 × 12 no puede ser y menos 10 × 14. No se me ocurrió cómo reducir el chequeo de las últimas parejas, por eso me parece mucho mejor tu propuesta.

Saludos

[ser humano]

Re: Teoría de Números I(dj_jara)

No se me ocurrió cómo reducir el chequeo de las últimas parejas, por eso me parece mucho mejor tu propuesta.

Si, puede que el que expuse sea mas simple, pero razonamientos como este:

Es decir buscamos dos número a y b cuyo producto y cuya suma sean ambos pares o ambos nones. Por lo tanto, si a y b fueran nones ab sería non pero a + b sería par; y si fueran uno par y uno non, ab sería par, pero a + b sería non. En este punto descartamos todos los nones.

por lo menos merecen una felicitacion. No lo digo simplemente por empatizar, realmente me parece una muy buena forma de descartar posibilidades.

Saludos