Las puertas

[angel relativamente]

Aquí os dejo con un problema-acertijo, cortesía de mi libro de matemáticas:

El conserje de un hotel cierra y abre las puertas de las habitaciones del siguiente modo:

-El primer día cierra todas las puertas.
-El segundo día abre las pares
-El tercer día cambia (si una puerta estaba abierta, la cierra; y si estaba cerrada, la abre) las múltiplo de 3
-El cuarto día las múltiplo de 4
-Etcétera

¿Que puertas son las que quedarán cerradas al final del proceso?

Bueno eso ya lo resolví y verán que es interesante pero no demasiado difícil. El siguiente reto que les planteo y que yo no supe resolver es: ¿Por qué se quedan cerradas esas puertas?

Saludos! Que se lo pasen bien!

[carroza]

Re: Las puertas

Hola.

Parece que la solución depende del número de factores que tenga un número dado, excluyendo el uno.

Por ejemplo los número primos sólo tienen un factor, por tanto se abrirán una vez y quedarán abiertas.

El número 4 tiene dos factores (2 y 4), por lo tanto se abre, cuando se abren los pares, y se cierra, cuando se cambian los múltiplos de 4.
Todas las puertas cuyo número tenga dos factores, quedan por tanto cerradas (4,6,9,...)

Así, en general, las puertas cuyo número tiene un número impar de factores quedan abiertas, y las puertas cuyo número tiene un número par de factores quedan cerradas.

[Machinegun]

Re: Las puertas

Coincido absolutamente contigo, carroza. Lo que me extraña es que ángel relativamente haya dicho que el pudo resolver cuáles puertas quedarán cerradas, pero no pudo saber por qué se quedan cerradas esas puertas. No veo cómo pueda uno saber qué puertas se quedan cerradas si no sabe uno por qué precisamente ésas. O algo no entendí, o ángel no había resuelto bien cuáles puertas se quedarán cerradas. ¿O será que estoy muy desencanchado?

Saludos

[angel relativamente]

Re: Las puertas

Gracias a carroza he visto el porqué. Yo lo hice mediante una tabla en la que voy abriendo y cerrando puertas cada día que pasa y voy observando cuáles se quedan cerradas. Carroza ha dicho que se quedan cerradas aquellas que tienen un número par de factores y es correcto. Ahora me gustaría que vieseis cuáles son los números (las puertas) que se quedarán cerradas. Es decir, que me dijerais al menos las 5 primeras puertas que se quedarán cerradas para que podais ver cuáles son las siguientes. Ah por cierto, el 1 es una de las que tiene un número impar de factores, aunque como has dicho que ignoraremos el factor 1, supongo que podemos decir que la puerta número 1 tiene 0 factores y 0 es un número par por tanto permanecerá cerrada.

PD:

Todas las puertas cuyo número tenga dos factores, quedan por tanto cerradas (4,6,9,...)

El 6 tiene 3 factores

[carroza]

Re: Las puertas

Hola.

Efectivamente, el 6 tiene 3 factores.

Los numeros que tienen un numero par de factores son, exclusivamente, los cuadrados perfectos.

1,4,9,16,25 ...

La demostración es curiosa: Parte de la descomposición de un número en factores primos. La dejo sin hacer por si alguien quiere encontrarla por sí mismo.

[angel relativamente]

Re: Las puertas

Los numeros que tienen un numero par de factores son, exclusivamente, los cuadrados perfectos.

1,4,9,16,25 ...

Esa era la respuesta Quedarán cerradas tan solo los cuadrados perfectos

La demostración es curiosa: Parte de la descomposición de un número en factores primos. La dejo sin hacer por si alguien quiere encontrarla por sí mismo.

Intentaré hacerla