Los pasteles

[NuezMoscada]

Supongamos que se tienen dos pasteles (de forma arbitraria) en una bandeja; demostrar que es posible cortarlos ambos exactamente por la mitad con un solo golpe de cuchillo.

No es un problema sencillo. Se clasificaría en una sección de aplicaciones del teorema del valor medio. Antes de atacarlo directamente, convendría empezar por algunos del mismo tipo más sencillos. Por ejemplo:

Suponiendo que la temperatura en puntos del ecuador varia de forma continua, demuestra que existe un punto sobre el cuador terrestre cuya antípoda está a la misma temperatura.

Un saludo.

[carroza]

Re: Los pasteles

Supongamos que se tienen dos pasteles (de forma arbitraria) en una bandeja; demostrar que es posible cortarlos ambos exactamente por la mitad con un solo golpe de cuchillo.

No es un problema sencillo. Se clasificaría en una sección de aplicaciones del teorema del valor medio. Antes de atacarlo directamente, convendría empezar por algunos del mismo tipo más sencillos. Por ejemplo:

Suponiendo que la temperatura en puntos del ecuador varia de forma continua, demuestra que existe un punto sobre el cuador terrestre cuya antípoda está a la misma temperatura.

Un saludo.

Hola.

Bonito problema.

Para resolver el del ecuador, basta considerar la funcion que da la diferencia de la temperatura con la antipoda, en funcion de la longitud. La integral de esa funcion es cero, es continua, luego en algun punto debe anularse.

Para resolver el del pastel, voy a considerar dos dimensiones (es decir, galletas más que pasteles). Si me fijo en el primer pastel, considero todas las orientaciones del cuchillo, dadas por el angulo $\theta$. Para cada una de ellas, hay una linea que corta el primer pastel por la mitad (basta mover el cuchillo a la izquierda o a la derecha, manteniendo $\theta$ fijo).

Para cada valor de $\theta$, podemos ver la fraccion de masa del segundo pastel que queda por encima del corte. Esta debe ser una funcion continua de theta, que va de cero a 1, por lo cual para algun valor debe ser 1/2.
Esta es la solucion.

En tres dimensiones (las que tienen los pasteles) creo que me salen infinitas soluciones, con lo cual creo que con un corte de cuchillo (un plano) podriamos cortar hasta tres pasteles arbitrarios por la mitad.

[NuezMoscada]

Re: Los pasteles

Impecable, carrozza:
El problema estaba pensado para pasteles en 2 dimensiones, pero en efecto, para pasteles en 3 dimensiones podríamos cortar hasta 3 pasteles. Enhorabuena!