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Señalaba Gauss la enorme importancia que tiene en matemática el poder distinguir entre primos y compuestos, así como descomponer estos últimos números en sus factores primos. “La misma dignidad de la ciencia –escribía en sus Disquisitiones Arithmeticae—parece requerir que se exploren todos los medios posibles para encontrar la solución de un problema tan famoso y elegante.” A lo que cabría añadir que la mayor parte de las veces, es ésta una tarea, o bien del todo imposible, o bien de una extraordinaria dificultad práctica.
Desde luego, si son pares, o acaban en 0 ó 5, podemos estar tranquilos, pues sabemos que se trata sin duda de números compuestos, divisibles entre 2, 5 ó 10. Pero supongamos que someten a nuestra consideración un número tan corrientucho como el 6807255913, y nos preguntan maliciosamente: ¿es primo o compuesto?, y, si es compuesto, ¿cómo diantre procederá usted para descomponer ese número en sus factores primos?
Ya en alguna ocasión hemos hablado en este foro del inteligente sacerdote matemático del siglo XVII llamado Marin Mersenne. A juzgar por los documentos que se conservan, se conoce que al digno tonsurado no acababan de colmarle de felicidad ni los incensarios ni los hisopos, ni los trisagios ni los triduos, ni las flores a María ni las hostias, fuesen en vinagre o consagradas. Se sospecha además que la rutinaria tarea de confesar a inacabables ristras de desdentadas ancianas libidinosas día tras día durante todo el año, y año tras año, le provocaba al hombre una atroz aburrición acompañada de somnolencia muy próxima a la catatonia. Por todo lo cual, en un momento dado decidió don Marin llevar a la práctica aquello tan bonito y ambicioso de divinarum atque humanarum rerum notitia, etc., etc., ya sabéis.
Pero, bueno, no voy a abordar aquí en profundidad la rica personalidad matemática de Marin Mersenne, sino referirme tan solo brevemente a los famosos números que llevan su nombre, o sea, aquellos de la forma 2^n – 1 [es decir: (2 elevado a n) menos 1]. Los cuales números son todos impares, como es fácil ver. El cura se dio cuenta enseguida de que, si n era compuesto (p. ej., n = 4, 6 ó 12), entonces 2^n -1 también era compuesto. Así, para n= 4, 2^4 – 1 = 15 = 3*5, para n = 12, 2^12 -1 = 4095 = 3*3*5*7*13, etc.
Pero ¿qué ocurría cuando n era primo? Para n = 2, 3, 5, 7 los correspondientes números de Mersenne 3, 7, 31 y 127 son también todos primos. Sin embargo, para n = 11 sale 2^11 – 1 = 2047 = 23*89. Este matemático sabía en efecto que, aunque n fuese primo, de ello no se deducía necesariamente que 2^n – 1 fuese siempre también primo. Afirmó que los primeros números primos para los cuales 2^n – 1 resultaba ser así mismo primo eran 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67, 127 y 257. En lo cual cometió dos errores: por un lado, se olvidó del primo 61, que da 2^61 – 1 también primo; y, por otro, incluyó el primo 67, del que deriva 2^67 – 1, que no es primo. Esto último fue establecido de manera contundente pero indirecta por Edouard Lucas en 1876.
Conocéis sin duda el admirable relato de Jorge Luis Borges titulado Funes el memorioso. Y recordáis quizá que, en un determinado encuentro con el narrador, el tal Ireneo Funes, el “cronométrico Funes”, empieza a enumerar, en latín y español, los casos de memoria prodigiosa registrados en la Naturalis historia de Plinio: Ciro, rey de los persas, que sabía llamar por sus nombres a todos los soldados de sus ejércitos; Mitrídates Eupator, que administraba la justicia (es un decir) en los 22 idiomas de su imperio; Simónides, inventor de la mnemotecnia, Metrodoro, et alii.
Pues bien: no sé por qué a mí el nombre de Frank Nelson Cole, un oscuro matemático usamericano de la Columbia University, me trae siempre a la cabeza el recuerdo del personaje borgesiano, aunque lo de Cole poco tiene que ver, como ahora veremos, con la memoria y sí mucho con la minuciosidad, la paciencia jobiana y la perseverancia extrema. Quizá el paralelismo que establezco sin querer se deba a que, así como Ireneo, debido a su descomunal memoria, no era a fin de cuentas muy capaz de pensar, ya que pensar es olvidar las diferencias y es generalizar, abstraer, así también Frank Nelson Cole ha pasado a la historia por una hazaña matemática portentosa que muy poco le debe propiamente al intelecto.
En 1903, en una reunión de la American Mathematical Society, uno de los conferenciantes programados era Frank Nelson Cole, que había anunciado su intención de probar de manera explícita y directa (y no “filosóficamente”, como había hecho el francés Edouard Lucas veintisiete años antes) que 2^67 – 1 era, en efecto, un número de Mersenne compuesto. La expectación del público especializado asistente era extraordinaria, como cabe imaginar.
Llega al fin, pues, Mr. Cole. Avanza hasta la pizarra y, audaz el ademán, coge una tiza. Calcula laboriosamente 2^67 (o sea, 2*4^33 = 2*4*16^16) y le resta 1, con lo que le resulta 147.573.952.588.676.412.927.
Mr. Cole se vuelve entonces hacia el auditorio, o más bien visionorio, a fin de comprobar si hay alguna disidencia o disconformidad registrable. Observa que nadie protesta. Mr. Cole escribe entonces: 761.838.257.287 e, inmediatamente debajo, precedido de un aspa de multiplicar, 193.707.721. Y a continuación, ni corto ni perezoso, va colocando uno a uno, aplicadamente, los dígitos del producto, ¡que resulta ser el citado número de Mersenne, 147.573.952.588.676.412.927!
El personal asistente prorrumpe entonces en un estruendosísimo e inacabable aplauso, trufado, como ocurre a veces en las salas de concierto al concluir ciertos ruidosos últimos movimientos de Beethoven o Brahms, con algún que otro ¡bravo, bravo!, ¡bis, bis!, etc. Y es que todos acaban de ser atónitos testigos de un parto histórico: el egregio profesor Cole, de la Columbia University, sin pronunciar ni una sola palabra, ha dejado probado sin vuelta de hoja que el número de Mersenne 2^67 – 1 no es primo, sino compuesto.
El laborioso Frank Nelson Cole no tardaría en confesar paladinamente (y quizá con un leve rubor) a un periodista local que llevaba justamente veinte años, es decir, desde 1883, trabajando en ese decisivo cálculo numérico.
¡Pobre hombre!, ¿no?
Bueno. De manera equivalente, Eróstrato ha pasado a la historia, según creo, por el espectacular incendio del templo de Artemisa, en Éfeso.
Desde luego, si son pares, o acaban en 0 ó 5, podemos estar tranquilos, pues sabemos que se trata sin duda de números compuestos, divisibles entre 2, 5 ó 10. Pero supongamos que someten a nuestra consideración un número tan corrientucho como el 6807255913, y nos preguntan maliciosamente: ¿es primo o compuesto?, y, si es compuesto, ¿cómo diantre procederá usted para descomponer ese número en sus factores primos?
Ya en alguna ocasión hemos hablado en este foro del inteligente sacerdote matemático del siglo XVII llamado Marin Mersenne. A juzgar por los documentos que se conservan, se conoce que al digno tonsurado no acababan de colmarle de felicidad ni los incensarios ni los hisopos, ni los trisagios ni los triduos, ni las flores a María ni las hostias, fuesen en vinagre o consagradas. Se sospecha además que la rutinaria tarea de confesar a inacabables ristras de desdentadas ancianas libidinosas día tras día durante todo el año, y año tras año, le provocaba al hombre una atroz aburrición acompañada de somnolencia muy próxima a la catatonia. Por todo lo cual, en un momento dado decidió don Marin llevar a la práctica aquello tan bonito y ambicioso de divinarum atque humanarum rerum notitia, etc., etc., ya sabéis.
Pero, bueno, no voy a abordar aquí en profundidad la rica personalidad matemática de Marin Mersenne, sino referirme tan solo brevemente a los famosos números que llevan su nombre, o sea, aquellos de la forma 2^n – 1 [es decir: (2 elevado a n) menos 1]. Los cuales números son todos impares, como es fácil ver. El cura se dio cuenta enseguida de que, si n era compuesto (p. ej., n = 4, 6 ó 12), entonces 2^n -1 también era compuesto. Así, para n= 4, 2^4 – 1 = 15 = 3*5, para n = 12, 2^12 -1 = 4095 = 3*3*5*7*13, etc.
Pero ¿qué ocurría cuando n era primo? Para n = 2, 3, 5, 7 los correspondientes números de Mersenne 3, 7, 31 y 127 son también todos primos. Sin embargo, para n = 11 sale 2^11 – 1 = 2047 = 23*89. Este matemático sabía en efecto que, aunque n fuese primo, de ello no se deducía necesariamente que 2^n – 1 fuese siempre también primo. Afirmó que los primeros números primos para los cuales 2^n – 1 resultaba ser así mismo primo eran 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67, 127 y 257. En lo cual cometió dos errores: por un lado, se olvidó del primo 61, que da 2^61 – 1 también primo; y, por otro, incluyó el primo 67, del que deriva 2^67 – 1, que no es primo. Esto último fue establecido de manera contundente pero indirecta por Edouard Lucas en 1876.
Conocéis sin duda el admirable relato de Jorge Luis Borges titulado Funes el memorioso. Y recordáis quizá que, en un determinado encuentro con el narrador, el tal Ireneo Funes, el “cronométrico Funes”, empieza a enumerar, en latín y español, los casos de memoria prodigiosa registrados en la Naturalis historia de Plinio: Ciro, rey de los persas, que sabía llamar por sus nombres a todos los soldados de sus ejércitos; Mitrídates Eupator, que administraba la justicia (es un decir) en los 22 idiomas de su imperio; Simónides, inventor de la mnemotecnia, Metrodoro, et alii.
Pues bien: no sé por qué a mí el nombre de Frank Nelson Cole, un oscuro matemático usamericano de la Columbia University, me trae siempre a la cabeza el recuerdo del personaje borgesiano, aunque lo de Cole poco tiene que ver, como ahora veremos, con la memoria y sí mucho con la minuciosidad, la paciencia jobiana y la perseverancia extrema. Quizá el paralelismo que establezco sin querer se deba a que, así como Ireneo, debido a su descomunal memoria, no era a fin de cuentas muy capaz de pensar, ya que pensar es olvidar las diferencias y es generalizar, abstraer, así también Frank Nelson Cole ha pasado a la historia por una hazaña matemática portentosa que muy poco le debe propiamente al intelecto.
En 1903, en una reunión de la American Mathematical Society, uno de los conferenciantes programados era Frank Nelson Cole, que había anunciado su intención de probar de manera explícita y directa (y no “filosóficamente”, como había hecho el francés Edouard Lucas veintisiete años antes) que 2^67 – 1 era, en efecto, un número de Mersenne compuesto. La expectación del público especializado asistente era extraordinaria, como cabe imaginar.
Llega al fin, pues, Mr. Cole. Avanza hasta la pizarra y, audaz el ademán, coge una tiza. Calcula laboriosamente 2^67 (o sea, 2*4^33 = 2*4*16^16) y le resta 1, con lo que le resulta 147.573.952.588.676.412.927.
Mr. Cole se vuelve entonces hacia el auditorio, o más bien visionorio, a fin de comprobar si hay alguna disidencia o disconformidad registrable. Observa que nadie protesta. Mr. Cole escribe entonces: 761.838.257.287 e, inmediatamente debajo, precedido de un aspa de multiplicar, 193.707.721. Y a continuación, ni corto ni perezoso, va colocando uno a uno, aplicadamente, los dígitos del producto, ¡que resulta ser el citado número de Mersenne, 147.573.952.588.676.412.927!
El personal asistente prorrumpe entonces en un estruendosísimo e inacabable aplauso, trufado, como ocurre a veces en las salas de concierto al concluir ciertos ruidosos últimos movimientos de Beethoven o Brahms, con algún que otro ¡bravo, bravo!, ¡bis, bis!, etc. Y es que todos acaban de ser atónitos testigos de un parto histórico: el egregio profesor Cole, de la Columbia University, sin pronunciar ni una sola palabra, ha dejado probado sin vuelta de hoja que el número de Mersenne 2^67 – 1 no es primo, sino compuesto.
El laborioso Frank Nelson Cole no tardaría en confesar paladinamente (y quizá con un leve rubor) a un periodista local que llevaba justamente veinte años, es decir, desde 1883, trabajando en ese decisivo cálculo numérico.
¡Pobre hombre!, ¿no?
Bueno. De manera equivalente, Eróstrato ha pasado a la historia, según creo, por el espectacular incendio del templo de Artemisa, en Éfeso.