Un trabajo de chinos

[^Cuervo^]

Cual es el entero positivo más pequeño que cumple las tres siguientes condiciones :
Si lo multiplicas por 5 y luego divides el resultado por 36 , la división da de resto 19
Si lo multiplicas por 3 y luego divides el resultado por 40 da de resto 21
Si lo multiplicas por 2 y luego divides el resultado por 75 da de resto 64

[Machinegun]

Re: Un trabajo de chinos

A mí me sale que es el 407, pero a lo mejor me fui muy alto.

Saludos

[carroza]

Re: Un trabajo de chinos

Hola.

Es un problema bonito de ecuaciones diofánticas (con variables y coeficientes enteros).

Tomando las dos últimas expresiones, y definiendo n como el numero que queremos obtener, y las otras letras como numeros enteros,


$3 n = 40 p + 21$
$2 n = 75 q + 64$

Es claro que p y q deben ser, respectivamente, multiplos de 3 y 2; por ello queda (p=3p', q=2q')
$n = 40 p' + 7$
$n = 75 q' + 32$;

por tanto, despejando n, queda
$40 p' + 7= 75 q' + 32$,

$8 p' = 15 q' + 5$;

por tanto, p' es multiplo de 5, p'=5p''

$8 p'' = 3 q' + 1$;

La solucion más pequeña a esta ecuación es q'=5, p"=2, que lleva a n= 407.

Esta es solucion de la primera ecuación, por tanto 407 es el entero más pequeño buscado.


La siguiente solucion a las dos últimas expresiones es p"=5, q'=13, que da n=1007, pero este numero no cumple la expresion 1.