Puede existir un termino n-esimo para la sucesión de la serie armonica

[Arahuan]

Antes que nada debo expresar que estoy impresionado por esta web, llevo mucho tiempo haciendome algunas preguntas y pienso que este es un buen lugar, es de lo mas adecuado

Hace algunos años en el bachillerato conocí a la serie armonica cuyos terminos de la sucesión son,

1 , 3/2 , 11/6, 50/24, ...

como desconocía y hasta cierto punto aun desconosco la la función gamma llegue por mi cuenta a esto

1
1 1
1 3 2
1 6 11 6
1 10 35 50 24

donde el ultimo par de números de cada hilera corresponden a los terminos de dicha sucesión (tomando con divisor al factorial), sabiendo que la suma de cada hilera es el factorial del número que enumera a la misma (iniciando en cero), y tambien conociendo que el ultimo número es el factorial del número asociado a la hilera mas uno, solo faltaba conocer cuanto sumaba cada hilera hasta el antepenultimo número.

Llamando ƒ a la suma de una hilera hasta su antepenultimo número, se obtiene

ƒ(0)=? ƒ(3)=1
ƒ(1)=? ƒ(4)=7
ƒ(2)=? ƒ(5)=46

Despues de una complicado viaje lleno de vueltas, logre llegar a esta relación

ƒ(n)=n!(n-Sn) donde Sn={1, 3/2, 11/6, 50/24},

Encontre varias cosas interesantes (como la constante de e a la gamma), pero por mas algebra que aplicaba siempre me resultaba que la Sn quedaba definida en función de la Sn, entonces se podra encontrar una relación algebraica, sin sumatorias, integrales o transformaciones, que logren expresarla??

[Arahuan]

Re: Puede existir un termino n-esimo para la sucesión de la serie armonica

ßueno, sobre la pregunta pues quería aclararla un poco, parece que no deja posibilidad a dar una respuesta simple, es como pensar en el "Teorema de incompletitud", mi conocimiento sobre este es reducido y realmente lo menciono para hacer la siguiente comparación.

• Por un lado lo único más temible que desconocer la respuesta a la pregunta, es que la misma no pueda ser respondida sin estar del otro lado y, si alguien advierte la respuesta bien podría reservársela por que la misma ya es vislumbrar el otro lado.

• Por otro lado si la respuesta no están temible y todavía más, si es conocida, entonces seria propiamente la respuesta del tema.

Para todos los efectos seria igualmente conveniente conocer si dicha respuesta ya fue encontrada (y por lo tanto es cierta), o si no lo ha sido.

Me alegraría conocer sus puntos de vista, que les parece… existe?

[carroza]

Re: Puede existir un termino n-esimo para la sucesión de la serie armonica

Hola. Los números armónicos son bien conocidos. Por ejemplo,


http://en.wikipedia.org/wiki/Harmonic_number

La expresión más compacta de estos números puede ponerse en términos de la función digamma y la constante de Euler:

$H_n = \psi(n+1) + \gamma$

[Arahuan]

Re: Puede existir un termino n-esimo para la sucesión de la serie armonica

Mil gracias por responder, todavía pienso que la función gamma esta en una liga superior, pero aun así me gustaría contribuir con lo que encontré en mi necia búsqueda.




Encontré la siguiente relación,

__lim___e^Sn - e^S(n-1) = e'
_n→∞______________________________________donde Sn = {1, 3/2, 11/6, 50/24, …}
___________________________________________y e' es e^gamma






Una buena aproximación a esta es la siguiente relación


Sn ≈ Ln(n·e'+1)




Aún no me consta la siguiente (me tropese con ella ayer),


Ln((n+1)·e'-1) < Sn < Ln(n·e'+1)




Supongo que difícilmente me encontrare más cosas con algebrita pura, igualmente un abrazo y gracias por seguir consultando la pregunta