Otro problema a^x ? b^y

[jorgext]

Hola, soy nuevo... y llegué por el problema de qué era mayor e^pi ó pi^e.
Junto con esto y mientras lo estudiaba se me ocurrió algo más interesante:

Si a, b, x e y son números reales positivos; y además a < b y x > y.

a^x ? b^y

¿Para qué números se produce una igualdad o las expresiones se hacen desiguales (diciendo que lado es mayor o menor)?

Ojalá haya planteado bien el problema, cualquier corrección o mejora estará bien para entenderlo mejor.


Saludos!

[carroza]

Re: Otro problema a^x ? b^y

Hola, soy nuevo... y llegué por el problema de qué era mayor e^pi ó pi^e.
Junto con esto y mientras lo estudiaba se me ocurrió algo más interesante:

Si a, b, x e y son números reales positivos; y además a < b y x > y.

a^x ? b^y

¿Para qué números se produce una igualdad o las expresiones se hacen desiguales (diciendo que lado es mayor o menor)?

Ojalá haya planteado bien el problema, cualquier corrección o mejora estará bien para entenderlo mejor.


Saludos!

Hola. Bienvenido.

Tu problema se puede simplificar haciendo logaritmos en ambos lados de la igualdad, o la desigualdad correspondiente.

$x \log(a) = y \log (b)$


Asi, tus expresiones seran iguales o mayores o menores, segun el cociente de los exponentes sean mayores, iguales o menores que el cociente de los logaritmos de las bases.


Una variante bonita que te puedes plantear de este problema es la siguiente:

si $\epsilon$ es un numero muy pequeño, para qué valores de $x$ se cumple
que $(x-\epsilon)^{(x+\epsilon)}$ sea mayor, menor o igual que $(x+\epsilon)^{(x-\epsilon)}$