¿Cuándo es conmutativa la potencia?

[ajotatxe]

Se trata de encontrar los pares de enteros positivos y distintos $a,b$ tales que $a^b=b^a$.

[carroza]

Re: ¿Cuándo es conmutativa la potencia?

Se trata de encontrar los pares de enteros positivos y distintos $a,b$ tales que $a^b=b^a$.

vamos a replantearlo de la forma siguiente: Para un numero a, encontrar b de tal forma que cumpla $a^b=b^a$.

En esta ecuacion, haciendo logaritmos, se halla

$a/\log(a)=b/\log(b)$

Si haceis la grafica de la funcion $y=log(x)/x$, vereis que tiene valores iguales, para
$1<x_1<e$, y para $e<x_2<\infty$,

Por tanto, para cada valor de a>1, hay un valor de b>1 que cumple $a^b=b^a$.
Este valor se obtiene resolviendo$a/\log(a)=b/\log(b)$.

[carroza]

Re: ¿Cuándo es conmutativa la potencia?

He visto que la pregunta pide numeros enteros.

Por lo que vimos antes, uno de los valores (a o b) debe estar entre 1 y e.

El unico entero entre 1 y e es 2, y el valor de b que corresponde a a=2 no es entero.

Por tanto, no hay soluciones enteras para $a^b=b^a$

[carroza]

Re: ¿Cuándo es conmutativa la potencia?

Perdon, me he equivocado.

Para a=2, b=4. Asi que hay una unica solucion: $2^4 = 4^2$

[CRISTIAN FABIAN FERREIRA]

Re: ¿Cuándo es conmutativa la potencia?

Cuando se trata de encontrar lo pares de enterosc,b tales qe c ala b =b ala c

[Juanma1976]

Re: ¿Cuándo es conmutativa la potencia?

Cuando se trata de encontrar las soluciones naturales de a^b=b^a se me ocurre una manera un tanto chapucera:

supongamos que a>b, por lo que a=b^s con s>1, sustiyendo y aplicando logaritmos en base b tenemos las siguientes igualdades:

a=b^s
bs=b^s

Para que las soluciones sean enteras positivas, s ha de ser entero y positivo, así que iré probando con los diferentes valores que puede tomar s.

Si s=1, entonces tenemos que a=b que es la solución obvia.
Si s=2, tenemos que b=b^2 que tiene a b=2 como solución no trivial y a=2^2=4. Por lo tanto 2^4=4^2
Para s>2 tenemos que b es siempre un real mayor que 1 y menor que 2, por lo que ya no existen más soluciones.

En resumen, las única soluciones naturales son a=b, a=2 y b=4 (o al inrevés).

Un saludo, Juanma