Tartaglia y Cardano, 1

[Lemuel]

Para lo que quiero decir sobre estos temperamentales matemáticos italianos del siglo XVII necesito introducir unas sencillas ideas algebraicas previas. Todos sabemos de sobra estas cosas, pero quizá hay algún olvidadizo.

Una ecuación de primer grado es una expresión tal como

ax + b = 0.

Las letras ‘a’ y ‘b’ representan números racionales cualesquiera, positivos o negativos: ‘a’ es el coeficiente de ‘x’, y ‘b’ es el llamado término independiente. En cuanto a la propia ‘x’, se trata de la ‘cosa’, es decir, de la incógnita, cuyo valor hay que averiguar. Se dice que una ecuación como esa es de primer grado porque la ‘x’ que en ella aparece es lineal, o sea, está “elevada” solo a 1. La resolución de este tipo de ecuaciones es inmediata y trivial.

Lo que se hace es, en primer lugar, pasar al segundo miembro el término independiente, cambiándolo de signo:

ax = -b,

y, en segundo lugar, despejar la x:

x = -b/a.

Por ejemplo:

-7x + 3 = 0
-7x = -3
x = -3/-7 = 3/7.

Casi igual de sencilla es la resolución (conocida desde la más remota antigüedad) de las ecuaciones de segundo grado, que son las de la forma

ax^2 + bx + c = 0.

Multiplicando esta ecuación por 4a,

4(a^2)(x^2) + 4abx + 4ac = 0.

Sumando y restando b^2,

4(a^2)(x^2) + 4abx + b^2 – b^2 + 4ac = 0

(2ax + b)^2 = b^2 – 4ac

2ax + b = ± √[(b^2) – 4ac]

x = {- b ± √[(b^2) – 4ac]}/2a.

Lo cual, por si hubiera alguna duda, se lee así:

«X es igual a: – b más menos la raíz cuadrada de b elevado al cuadrado menos 4ac, dividido todo ello por 2a.»

Por ejemplo,

2x^2 -7x + 3 = 0

x = {7 ± √(49 – 24)}/4 = {7 ± 5)}/4,

de donde resultan dos soluciones:

x1 = 3, x2 = ½,

valores que puede comprobarse que son correctos sin más que sustituirlos sucesivamente en la ecuación dada.

Hasta aquí, como se ve, todo fue coser y cantar.

Sin embargo, el paso siguiente, encaminado a resolver las ecuaciones de tercer grado, no resultó ni mucho menos tan fácil de dar, como veremos. Y fue un paso en el que, sin acompañamiento musical alguno, danzaron conjunta y un tanto pasionalmente un buen puñado de temperamentales matemáticos no siempre bien avenidos, entre ellos los afamados Tartaglia y Cardano.

[Lemuel]

Tartaglia y Cardano, 2

Tartaglia se llamaba en realidad Niccolò Fontana (1499-1557). Pero, cuando apenas tenía 13 años, durante el asalto francés a su Brescia natal, un soldado le asestó un brutal aunque patriótico sablazo que le destrozó la cara. Niccolò sobrevivió de chiripa, pero a partir de entonces se vio incapaz de articular correctamente las palabras, y de ahí el mote que le pusieron, y que él aceptó de buen grado, de Tartaglia, o sea, Tartaja, aunque lo suyo no fuese propiamente tartamudez. Este fue el individuo que, de mayorcito, acertó a resolver finalmente las endiabladas ecuaciones de tercer grado, que son las de la forma

ax^3 + bx^2 + cx + d = 0,

o bien, dividiendo todo por a,

x^3 + px^2 + rx + s = 0.

Ecuación de la que, como puede comprobar el voluntarioso lector, es posible eliminar el término en x^2 mediante el cambio

x = y – t/3,

con lo que tendríamos

y^3 + py + q = 0.

El paso siguiente (cuyo desarrollo completo no voy a dar aquí, pues es, lo reconozco paladinamente, un tanto, digamos, “laborioso”, o sea, plasta para los no enviciados) consiste en hacer

y = u + v,

con lo que

(u + v)^3 + p(u + v) + q = 0

u^3 + v^3 + q + (3uv + p)(u + v) = 0,

de donde, poniendo

u + v = A, uv = B, v = A – u, u(A-u) = B,

y con

u^2 – Au + B = 0,

se pide que

3uv + p = 0
u^3 + v^3 + q = 0, etc.,

y, pasado no mucho tiempo, se va escurriendo a lo tonto a lo tonto, para llegar finalmente y como quien no quiere la cosa a la algo intrincada expresión

y = {-q/2 + √(q^2/4 + p^3/27)}^1/3 + {-q/2 + √(q^2/4 - p^3/27)}^1/3

(Vea, por ejemplo, el curioso lector para más detalle http://mathworld.wolfram.com/CubicFormula.html )

Ahora bien, la horrorosa cosa anterior (por la que Dios nos perdone en su infinita bondad) se llama, no fórmula de Tartaglia, como sería lo lógico y natural, sino fórmula de Cardano. ¿Cómo se explica tal cosa?

Es lo que veremos en el próximo y último pedazo de este post.

[Lemuel]

Tartaglia y Cardano, 3

El milanés Girolamo, o Gerolamo, Cardano (1501-1576) fue quizá el carácter más excéntrico y extravagante de la historia de la matemática. Como típico renacentista, dio muestras de muchos y variopintos saberes (de los que ha dejado más de 7000 páginas impresas) y, entre otras muchas cosas, tuvo ocasión de ejercer en su vida como un afamado astrólogo, un médico muy apreciado y un excelente algebrista. Aparte de ser así mismo un notable perillán, ducho en plagiar (o contextualizar, como se dice ahora) resultados ajenos. Su autobiografía, De Vita propia Liber, terminada poco antes de su muerte, merece ser leída y degustada como si de la Vida de nuestro simpar Diego de Torres Villarroel se tratase, o poco menos. (De este entrañable personaje, don Diego, hablaré, como dice el otro, Dios menguante, un día de estos.)

En ese libro autobiográfico empieza Cardano presentándose como descendiente directo de Su Santidad el mismísimo Papa Celestino IV. En pasajes que a mí me traen a la memoria, como es natural, la complejísima y fascinante venida al mundo de mi gigantesco héroe Gargantúa, padre del no menos gigantesco Pantagruel (véase el capítulo VI del libro correspondiente), el milanés asegura que (según había oído), aunque, dado que era fruto de amores pecaminosos, se ensayaron contra él varios procedimientos y medicinas abortivas, todo resultó en vano, y fue capaz de sobrevivir, “siendo literalmente arrancado del vientre de mi madre”. La traumática experiencia le dejó sin embargo medio muerto, y fue necesario un baño urgente en vino tinto casi hirviendo para devolver a la vida al futuro Gerolamo. Claro que, como consecuencia de ese prístino episodio biográfico, hubo de arrastrar en adelante toda clase de defectos físicos: padeció siempre, por ejemplo, fuertes palpitaciones, le manaban del pecho y del estómago unos extraños fluidos, tuvo que soportar una variada gama de hernias y hemorroides o almorranas, y no se privó tampoco de una cierta enfermedad que le obligaba a expulsar diariamente considerables cantidades de orina. Como guinda, el hombre experimentó así mismo una completa impotencia sexual durante muchísimo tiempo, desgracia que sin embargo fue capaz de superar, el buen Dios sea loado, justo escasos minutos después de casarse con su gran amor, la bellísima Lucia Bandarini.

Pero dejemos de lado su complicada vida y sus hazañas como astrólogo, adivino, fautor de milagros, especialista en portentos (tenía, por lo visto, animadas conversaciones con diversos ectoplasmas y espíritus del Más Allá) y doctor en medicina, así como su rutinario encarcelamiento por herejía en 1570, y limitémonos a hablar del bastante más prosaico Cardano matemático.

Para lo cual hay que decir que, por no privarse de nada, fue también nuestro autor un vicioso practicante de los juegos de azar y, según sus propias palabras, “sentía una afición desordenada por el ajedrez (sic!) y los dados”, de modo que se consideraba merecedor de las más fuertes censuras y “confesaba con vergüenza” que había incurrido en tales debilidades “no ya una vez al año, sino cada día”. El caso es que algo bueno tuvo esa tremenda perversión suya, y es que en un momento dado a Gerolamo se le ocurrió someterla a escrutinio y examen científico, de lo que resultó el importante Liber de ludo aleae, o Libro sobre los juegos de azar, primer tratado serio de la historia de las probabilidades matemáticas.

Pero la obra matemática fundamental de nuestro autor es, desde luego, la justamente famosa Ars Magna, que es la que le relaciona con Tartaglia y con las ecuaciones de tercer y cuarto grados. El hecho es que a conocimiento de Gerolamo había llegado en 1535 los ecos de una discusión algebraica entre Tartaglia y Antonio de Fior en torno a la resolución de las ecuaciones cúbicas disminuidas, del tipo

mx^3 + nx + p = 0, o sea sin término cuadrado.

Cardano quedó intrigado y escribió a Tartaglia una y otra vez rogándole que le diera la solución. Pero el tartaja de Brescia se resistía tozudamente, pues tenía pensado publicar un libro propio sobre el sensacional asunto. Cardano siguió insistiendo, invitó a Tartaglia a Milán y debió hacerle catar algunos exquisitos caldos de inmejorable añada, o quizá desplegó ciertas artes ocultas y más o menos mágicas de la seducción intelectual, o vete tú a saber cómo se las arregló. El caso es que el 25 de marzo de 1539, Tartaglia cedió y comunicó su secreto a cambio del siguiente juramento de nuestro Gerolamo:

«Juro por los Santos Evangelios y por mi fe de caballero que no haré públicos tus descubrimientos si me los cuentas; así mismo prometo y garantizo por mi fe de verdadero cristiano escribirlos en clave, de forma que tras mi muerte nadie sea capaz de comprenderlos.»

La cosa es que el milanés cumplió su promesa durante seis años, hasta la publicación de su Ars Magna, donde el método resolutivo de Tartaglia aparece tan bien explicado que a partir de entonces pasó a ser conocido como fórmula de Cardano. Aparte de lo cual, el Ars Magna es, también por otros muchos motivos, una obra sensacional, un libro que, como ha escrito William Dunham, “representó un avance sobrecogedor respecto a lo que se conocía hasta entonces sobre álgebra”.

Y es que, según la opinión de Leibniz: “Cardano fue un gran hombre pese a todos sus defectos; sin estos defectos, habría sido incomparable.”

[No registrado]

Re: Tartaglia y Cardano, 1

Como dejan aca este foro! que venian dando datos de por demas interesantes y cada vez se escucha menos gente que habla de verdad de cosas importantes: de pensar