El hotel de Hilbert y los infinitos numerables

[^Cuervo^]

Tenemos repleto nuestro querido hotel de infinitas habitaciones. En esto, nos llegan una cantidad infinita de autobuses, con una cantidad infinita de pasajeros en cada uno de ellos. Nuestra misión es dar alojamiento a todos los huespedes del hotel y a todos los recien llegados, de forma que además nos quede una cantidad infinita de habitaciones vacías.
Como podemos ingeniarnoslas para conseguirlo?

[angel relativamente]

Re: El hotel de Hilbert y los infinitos numerables

Quizá mi respuesta sea una tontería, ya que no tiene nada de formalismo matemático, pero no encuentro ningún problema para alojar a todos. Si lo tengo, que es muy probable, avísenme.

En primer lugar hay que mover de habitación a los infinitos hospedados que tenemos. Les decimos que busquen la habitación más próxima que acabe en n, siendo n un número natural con $n\in [0,9]$, y con una condición, que la cifra anterior no sea la misma. Me explico. Si n=0, entonces se pueden meter en la habitacion 10, 20, 30... pero no en la 100 puesto que la anterior al 0 es otro 0. Se podrán meter perfectamente en la 10000010, puesto que la cifra anterior a la última es un 1. Intentando formalizar esto (repito, intentando) podríamos decir que se metan en una habitación que acabe en $10m +n$, con m y n naturales pertenecientes al intervalo [0,9] y $m \neq n$. Es evidente que habrá habitaciones para todos que cumplan esas características. Ahora hay que alojar a los que vienen en autobús. Los autobuses vendrán numerados. El 1, el 2, el 71234...
La regla que seguiremos para alojarlos será: A los del autobús 1, se les dirá que se alojen en las habitaciones cuyas cifras finales sean: $100m+11n$ con m y n que cumplan las características anteriormente mencionadas.
A los del autobús 2, en las habitaciones cuyas cifras finales sean: $1000m +111n$. A los del autobús k, en las habitaciones cuyas últimas cifras sean $\dst 10^{1+k}m +\dst \sum_{i = 0}^k 10^i n$, lo cual nos garantiza que caben todos los turistas en las habitaciones, y nos quedan libres infinitas habitaciones, como pueden ser, las que acaban en m, o en cualquier número natural en el intervalo [0,9] distinto de n.
Si algo no se ha entendido, me quereis corregir algo porque lo veis mal o cualquier cosa, adelante.
Algo seguro es que el Hilbert va a facturar bastante este mes. ¿Alguno de la web quiere ir a veranear? Queda sitio...

¡Un saludo!