El amigo invisible

[carroza]

Hola

En estas fechas navideñas no es raro que surja la ocasión de jugar al amigo invisible.
Para el caso improbable en que haya alguien que no conozca el procedimiento, se trata de, partiendo de n personas, hacer corresponder, de forma secreta, a cada persona del grupo un "amigo" del grupo, que debe hacerle un regalo.

A efectos prácticos, se suelen poner los nombres de las personas en papelitos, que luego se sacan al azar por cada miembro del grupo, de forma que cada uno sabe a quién debe dar el regalo, pero no sabe quién le va a regalar.
El problema es que, para que funcione el juego, debe asegurarse que a nadie le toca él mismo como amigo invisible, porque si es así hay que repetir el sorteo.

El problema es calcular cuál es la probabilidad de que en un sorteo al azar, a alguna persona le toque a el mismo (y por tanto, hay que repetir el sorteo).

Por ejemplo, si hay dos personas, la probabilidad es 1/2.

Cuál es la probabilidad si N=3, 4 o 5?

Cuál sería la probabilidad cuando N tiende a infinito?

Se os ocurre una fórmila para N arbitrario?

Saludos, y que disfrutéis el problema.

[angel relativamente]

Re: El amigo invisible

Pregunta, ¿hemos de considerar que los papelitos se "abren" todos a la vez o que se van cogiendo y abriendo de 1 en 1?

PD: Me respondo yo solo, si fuese lo primero sería muy sencillo el problema

[carroza]

Re: El amigo invisible

Hola, se abren todos a la vez.

[carroza]

Re: El amigo invisible

Hola.

Os doy una pista para el caso n=3:

Sean los amigos A,B y C; si se sortean al azar, hay 3!=6 posibilidades de reparto de papeles. De ellas, solamente los repartos


BCA y CAB (a los amigos ordenados como ABC), dan a cada persona un amigo invisible distinto de el. Por tanto, para N=3, la probabilidad de que no haya que repetir el sorteo es de 1/3.

Y para N=4, 5, etc?

[rarar]

Re: El amigo invisible

Intuitivo.

$P=\frac{n+1}{2(n+2)}$

$\lim_{n \to \infty} =\frac{1}{2}$

Un cordial saludo.

[Sheldoniano]

Re: El amigo invisible

Creo que la probabilidad de que nadie se toque a sí mismo era $e^{-1}$

[carroza]

Re: El amigo invisible

Creo que la probabilidad de que nadie se toque a sí mismo era $e^{-1}$

Correcto, para el límite n infinito. ¿Sabes la formula para n arbitrario?

[rarar]

Re: El amigo invisible

Bueno, me dejo de intuiciones, que no me van bien.
Voy a ensayar otra cosa, que me lo he "currado".
He probado:
$n=2$...$\dst \frac{1}{2}$

$n=3$... $\dst \frac{2}{3!}$

$n=4$... $\dst \frac{9}{4!}$

$n=5$... $\dst \frac{44}{5!}$

$n=6$... $\dst \frac{265}{6!}$

Observo que:
$2*0 + 1 =1$

$3*1 - 1 =2$

$4*2 + 1 =9$

$5*9 - 1 =44$

$6*44 + 1 =265$

O sea, multiplico el resultado anterior por el "n" que corresponda y le sumo 1 (si n es par) o le resto 1 (si es impar)
Se me ocurre (después de harcer las multiplicaciones enlazadas) que la solución del término general podría ser $\dst F = \sum_{k=2}^{n} \frac{(-1)^n}{k!}$
Espero no haber metido la pata.
Un cordial saludo.

[carroza]

Re: El amigo invisible

Correcto, rarar.

Si te das cuenta, la expresión que has puesto (que puedes expresar también como $\dst F = \sum_{k=0}^{n} \frac{(-1)^n}{k!}$ ) es el desarrollo en serie de $e^{-1}$, hasta orden n.

No se si hay algún argumento que permita relacionar el número e con las permutaciones
sin coincidencias. Me resulta un hecho muy curioso.

[rarar]

Re: El amigo invisible

Hola carroza.
En la fórmula que propones, no se cumple para k=1, por eso puse desde k=2.
También me equivoqué en la fórmula. La corrijo. La exactitud es primordial.

$\dst F = \sum_{k=2}^{n} \frac{(-1)^k}{k!}$
Un cordial saludo.

[carroza]

Re: El amigo invisible

Hola.

Estoy de acuerdo en la importancia del rigor. Corrijo la fórmula

$\dst F = \sum_{k=0}^{n} \frac{(-1)^k}{k!}$

No obstante, los términos con k=0 y k=1 se anulan entre sí, por tanto puede ponerse la suma desde k=0.

Si te refieres a que la fórmula no se cumple para n=1, yo diría que sí. Siempre te toca tu papeleta, por lo que la probabilidad es 0, tal como te da la fórmula.

Saludos

[rarar]

Re: El amigo invisible

Para k=1, f=-1. Es a lo que me refiero.
Un cordial saludo.

[carroza]

Re: El amigo invisible

y para k=0, el sumando sale 1, por lo que F(n=1)=0.