Desigualdad con m.c.m

[juantv]

sea $a_0 < a_1 < \ldots < a_n$ demuestre que


$\cfrac{1}{mcm(a_0,a_1)}+\cfrac{1}{mcm(a_1,a_2)}+\ldots+\cfrac{1}{mcm(a_{n-1},a_n)} \leq 1-\cfrac{1}{2^n}$

Alguna idea por donde empezar ?

[carroza]

Re: Desigualdad con m.c.m

Hola,

Creo que la igualdad se cumple cuando a_0=1, a_1=2, ....a_n=2^(n-1).

Una estrategia para hincarle el diente al problema sería expresar los a_i como potencias de factores primos, y demostrar que si hay algun
factor primo mayor que 2, se cumple la desigualdad.

[RACS]

Re: Desigualdad con m.c.m

Hola.

Notemos que:

$$\frac{1}{a_i}-\frac{1}{a_{i+1}}=\frac{\frac{a_{i+1}}{mcd(a_i,a_{i+1})}-\frac{a_i}{mcd(a_i,a_{i+1})}}{mcm(a_i,a_{i+1})}\geq\frac{1}{mcm(a_i,a_{i+1})}$$

de ahí que:

$$\frac{1}{mcm(a_0,a_1)}+\frac{1}{mcm(a_1,a_2)}+\ldots+\frac{1}{mcm(a_{n-1},a_n)}\leq\frac{1}{a_0}-\frac{1}{a_n}$$

Luego, para $a_n\leq2^n$ tenemos lo pedido, para completar la demostración, procederemos por inducción:
Para $n=1$ se comprueba rápidamente.
Si para $n=k$ se cumple, veamos que para $n=k+1$ también se cumple:
Para $a_{k+1}\leq2^{k+1}$ ya sabemos que se cumple, para $a_{k+1}\geq2^{k+1}$:

$$\frac{1}{mcm(a_0,a_1)}+\frac{1}{mcm(a_1,a_2)}+\ldots+\frac{1}{mcm(a_k,a_{k+1})}\leq1-\frac{1}{2^k}+\frac{1}{2^{k+1}}=1-\frac{1}{2^{k+1}}$$

Con lo que completamos la demostración.