Los infinitos.

[Adosgel]

Re: Los infinitos.

Por enfrentarnos a una demostración más asequible...

Proposición: No hay un número primo máximo (i.e. existen infinitos números primos).

Supongamos que fuera falso, y existe un número primo que es mayor que todos los demás, sea P. Y ahora sea N = P! + 1 = 1*2*3*4*...*(P-1)*P + 1

Este número N o bien es primo o bien es compuesto:
- Si es primo, como N > P, tenemos que hay un número primo mayor que P, en contradicción con nuestra premisa.
- Si es compuesto, será divisible por algún número primo, pero no puede ser P, ya que N/P deja resto 1... tampoco puede ser ningún otro primo menor que P, ya que todos dejan resto 1 cuando dividen a N. Ha de ser otro número primo mayor que P, pero esto también contradice nuestra premisa.

Sea lo que sea N, contradice nuestra premisa, luego no podía ser cierta, y no existe un número primo mayor que todos los demás. #

Aquí demostramos que algo es infinito, y lo hacemos en un número finito de pasos... pero claro, este infinito no significa más que "no hay un número que sea el mayor en una familia de números"... poco podemos decir más de este infinito.

Ya, pero no demuestras cuantitativamente P; porque P, como nº que es tiene que ser uno concreto.
Precisamente, que no haya "primo máximo concreto" significa, no que este sea de cantidad infinita, sino que es ilógico que exista.

Saludos.

[Adosgel]

Re: Para Adosgel.

He leído todos tus post, y créeme que ha sido tarea árdua. Me entristece comprobar que en cambio tú no te esfuerzas por entender lo que dicen los demás y sigues en tus trece. Lamentablemente, creo que tendremos que cerrar o borrar este hilo porque a estas alturas no creo qeu se llegue a aclarar nada y lo que es peor, podría leer este post otra gente interesada y salir más confundida de como entró.
El discurso de este hilo no es constructivo ni aclaratorio ya que estás utilizando términos que te has inventado e incluso te permites utilizar términos ya existentes en matemáticas con un sentido diferente al habitual; esto hace que este hilo sea incluso contraproducente y por eso vamos a discutir qué hacemos con él.
Espero que lo comprendas.

NuezMoscada... tu decides, se lo que es tener responsablilidad en algo que afecte a terceras personas. En tí está la decisión de arriesgar o ser conserbadora.

Pero quiero que quede claro que entiendo perfectamente lo que me estais diciendo y razonando, y no me estais con ello aportando nada que no entendiera antes (por ahora). Si os escucho y sí os atiendo.

Saludos.

[Adosgel]

Re: Los infinitos.

Creo que acabo de tener una epifanía...

La diagonal de Cantor - Revisited

Cojamos todos los números reales entre 0 y 1, expresémoslos en notación decimal y agrupémoslos por sus primeras n cifras decimales definiendo de esta forma, para cada n > 0, una partición de los reales en el intervalo.
Representemos cada una de estas agrupaciones por la expresión decimal del menor número del conjunto, y los listamos. Así,

- para n = 1:
0,0
0,1
0,2
...
0,9

- para n = 2:
0,00
0,01
0,02
0,03
...
0,35
0,36
....
0,99

- etc...

(cada elemento de esas listas es el representante de un conjunto que agrupa todos los reales cuya expresión decimal comienza por esos dígitos)

Ahora escojemos aleatoriamente n elementos de la lista enésima, y creamos un elemento de forma que su primer dígito decimal sea diferente del primer dígito decimal del primer elemento, su segundo dígito decimal sea diferente del segundo dígito decimal del segundo elemento, ... y que su enésimo dígito decimal sea diferente del enésimo digito decimal del enésimo elemento.

Oh sorpresa, ese "nuevo" elemento ya está en la lista.

Si ahora dejamos que n crezca sin límites...

Vale, vamos a hacer que n crezca ilimitadamente.
Imaginate la evolucción de la lista... ésta aumentaría verticalmente de manera acelerada respecto a la manera en que crecería orizontalmente. Pero como queremos no perder de vista a los límites de la lista, nos vemos obligados en la comparación a percibir decrecimiento del alcance orizontal (compuesto sinembargo de un constante aumento de cifras en un proceso lineal).

Percibimos un colapso hacia el infinitésimo de la dirección orizontal formada por la cantidad de cifras que utilizamos, "n", respecto a las combinaciones concretas que nos confiere "n" en dirección vertical que crece en un proceso diferencial.

Como los números utilizados en la diagonal son la misma cantidad que cifras precisamos en los números de la lista, osea, tantos como la dirección orizontal, en el proceso de crecimiento de "n", con el fín de abarcar todos los números decimales, cada vez utilizamos menos proporción del total para la diagonal. Y esto evolucciona hacia ser una proporción infinitésima del total.
Lo que no entendeis es que, al igual que con "n" 2, ese total sigue pudiéndose relaccionar biuníbocamente con los enteros, al formar parte de las combinaciones de "n" cifras.

Y si alguien quiere hablar de infinitos como cantidades, en vez de referirse a un valor "n" que evolucciona al infinito soy todo oidos, perdón, ojos.

Saludos.

[Adosgel]

Re: Los infinitos.

Yo más bien lo interpreto que es aquí donde no entiendes la demostración.

No entiendo a qué llamas "fila", pero suponiendo que fuera lo que venimos llamando "número", no entiendo qué significa "utilizarlo". Suponiendo ahora que es cuando miramos una cifra decimal de ese número y escogemos otro dígito diferente, no comprendo cuál es la diferencia entre usar parte o usar "la fila".

Perdón, hellamado "fila" erroneamente queriendo decir "lista" refiriéndome a tu "lista". Pido disculpas. Soy así de despistado.

Esperaré a que interpretes lo que he espuesto pero con la rectificación hecha.

Pero probablemente lo que menos entiendo de todo es cómo pretendes presentar como evidencia de que el razonamiento es erróneo, el propio resultado del razonamiento... ¿Cómo sabes que no están todos? ¿No hemos empezado intentando demostrar eso mismo?

Porque las propiedades algebraicas de los números que componen el conjunto de números naturales y reales, no te permite abarcar en su totalidad a ninguno de estos conjuntos mediante el método de la diagonal. Es un problema de naturaleza algebraica, no de naturaleza de conjuntos.

Saludos.

[mrwhite]

Re: Los infinitos.

Creo que acabo de tener una epifanía...

La diagonal de Cantor - Revisited

Cojamos todos los números reales entre 0 y 1, expresémoslos en notación decimal y agrupémoslos por sus primeras n cifras decimales definiendo de esta forma, para cada n > 0, una partición de los reales en el intervalo.
Representemos cada una de estas agrupaciones por la expresión decimal del menor número del conjunto, y los listamos. Así,

- para n = 1:
0,0
0,1
0,2
...
0,9

- para n = 2:
0,00
0,01
0,02
0,03
...
0,35
0,36
....
0,99

- etc...

(cada elemento de esas listas es el representante de un conjunto que agrupa todos los reales cuya expresión decimal comienza por esos dígitos)

Ahora escojemos aleatoriamente n elementos de la lista enésima, y creamos un elemento de forma que su primer dígito decimal sea diferente del primer dígito decimal del primer elemento, su segundo dígito decimal sea diferente del segundo dígito decimal del segundo elemento, ... y que su enésimo dígito decimal sea diferente del enésimo digito decimal del enésimo elemento.

Oh sorpresa, ese "nuevo" elemento ya está en la lista.

Si ahora dejamos que n crezca sin límites... parece que consideramos todos los reales individualmente, en lugar de hacerlo por particiones (numerables)... con lo que demostramos que:
1) Podemos ponerlos en una lista, y
2) Que cualquiera que construyamos nuevo, ya está en la lista (ya que para todos los n finitos, lo estaba).

Creo que esto es lo que quería escribir Adosgel... pero puede que el golpe haya sido más fuerte de lo que pensaba.

[NuezMoscada]

Re: Para Adosgel.

He leído todos tus post, y créeme que ha sido tarea árdua. Me entristece comprobar que en cambio tú no te esfuerzas por entender lo que dicen los demás y sigues en tus trece. Lamentablemente, creo que tendremos que cerrar o borrar este hilo porque a estas alturas no creo qeu se llegue a aclarar nada y lo que es peor, podría leer este post otra gente interesada y salir más confundida de como entró.
El discurso de este hilo no es constructivo ni aclaratorio ya que estás utilizando términos que te has inventado e incluso te permites utilizar términos ya existentes en matemáticas con un sentido diferente al habitual; esto hace que este hilo sea incluso contraproducente y por eso vamos a discutir qué hacemos con él.
Espero que lo comprendas.

[mrwhite]

Re: Los infinitos.

Por enfrentarnos a una demostración más asequible...

Proposición: No hay un número primo máximo (i.e. existen infinitos números primos).

Supongamos que fuera falso, y existe un número primo que es mayor que todos los demás, sea P. Y ahora sea N = P! + 1 = 1*2*3*4*...*(P-1)*P + 1

Este número N o bien es primo o bien es compuesto:
- Si es primo, como N > P, tenemos que hay un número primo mayor que P, en contradicción con nuestra premisa.
- Si es compuesto, será divisible por algún número primo, pero no puede ser P, ya que N/P deja resto 1... tampoco puede ser ningún otro primo menor que P, ya que todos dejan resto 1 cuando dividen a N. Ha de ser otro número primo mayor que P, pero esto también contradice nuestra premisa.

Sea lo que sea N, contradice nuestra premisa, luego no podía ser cierta, y no existe un número primo mayor que todos los demás. #

Aquí demostramos que algo es infinito, y lo hacemos en un número finito de pasos... pero claro, este infinito no significa más que "no hay un número que sea el mayor en una familia de números"... poco podemos decir más de este infinito.

[mrwhite]

Re: Los infinitos.

Aquí radica el error del razonamiento del ejp. de Cantor. ASÍ SOLO PODEMOS UTILIZAR PARTE DE ESA FILA Y NO "LA FILA", POR LO QUE NO ES UN ABSURDO EL ENCONTRAR NÚMEROS QUE NO PERTENEZCAN A LOS UTILIZADOS, YA QUE ESTOS NO SON EL TOTAL DE LOS ENUMERADOS CON TODOS LOS NÚMEROS NATURALES QUE COMPONENE LA FILA.

Yo más bien lo interpreto que es aquí donde no entiendes la demostración.

No entiendo a qué llamas "fila", pero suponiendo que fuera lo que venimos llamando "número", no entiendo qué significa "utilizarlo". Suponiendo ahora que es cuando miramos una cifra decimal de ese número y escogemos otro dígito diferente, no comprendo cuál es la diferencia entre usar parte o usar "la fila".

Pero probablemente lo que menos entiendo de todo es cómo pretendes presentar como evidencia de que el razonamiento es erróneo, el propio resultado del razonamiento... ¿Cómo sabes que no están todos? ¿No hemos empezado intentando demostrar eso mismo?

Porque te estas refiriendo solo a los utilizados en la composición de la diagonal,

Porque en la composición del nuevo número he usado todos los de la lista, ¿que sólo son los de la lista? pues claro, pero es que empezamos suponiendo que podemos ponerlos todos.

en una ordenación de muchos mas números que cifras para concretarlos.

Que es lo que se pretende demostrar... pero tú ya lo sabes, porque debe ser evidente... ¿nos ilustras?

Esto es harina de otro costado y el ejp. no lo demuestra; por lo que, en principio, con la mismas garantias podríamos decir que lo contrario. Completa la composición algebraica de todos los números y dejaras de ver distinción.

¿Qué es una composición algebraica? ¿Eso de ponerle los 0's por delante y por detrás? ¿Expresarlo como la suma de los dígitos por la base elevada a la posición del dígito? Si ese es el caso, sigo viéndoles propiedades muy diferentes.

El concepto de unidad de propiedad continua, internamente carece de propiedades cuantificables propias; solo comparativas, osea relalivas a una unidad menor, dejando de tratarla como una unidad, creando discretizaciones menores.

¿Unidad de propiedad continua? ¿Eso es el 1 de los reales?

La unidad indivisa no está a la izquierda de la coma, sino en el monomio con el exponente de menor valor del polinomio que compone el número y desde la pretensión matemática de precisar en mayor o menor medida cuantitativa.

Es decir que llamas unidad indivisa al "último" decimal que escribimos al expresar un número con este formato... ¿y qué tiene que ver con todo esto?

Pero no estas utilizando en el ejp. de cantor todos los naturales que sí corresponden a la cantidad infinita de cifras que componen, tanto los naturales como los decimales;

No entiendo qué es lo que no estoy utilizando.

por lo que quedan tambien otros tantos decimales al margen de la diagonal.

Si con quedar al margen de la diagonal te refieres a todas las demás cifras decimales que no están en esa diagonal (por ejemplo, la segunda del primer número, la primera del segundo, la quinta del tercero). Estoy completamente de acuerdo, esos decimales no se usan en la demostración para nada... ¿y qué?

Y, ¿acaso el método de concretar cifras de cada número de composición infinita para crear distinción concreta entre estos no es una aplicación finita?,

Supongo que necesitaría saber qué entiendes por aplicación... suponiendo que por número de composición infinita nos referimos a la expresión decimal (potencialmente infinita) de un número real, y que por aplicación te refieres a procedimiento, y que por crear distinción concreta te refieres a verificar que un número es diferente de otro... me temo que sí, este procedimiento no es finito, ya que lo debo efectuar para un número infinito de objetos. (Y este infinito quiere decir que no existe un objeto que sea el último.)

¿eres tu capaz, o sabes de una sola aplicación de valor infinito, directa, en vez de hacerla mediante estimación o desestimación de aplicaciones finitas?. ¿Qué nos garantiza de las propiedades del infinito cualquier aplicación concluyente si su naturaleza tiene que ser por obligación de procedimiento operativo finito?.

Saludos.

En fin, sin saber que és una aplicación, no me atrevo con esto último.

[Adosgel]

Re: Los infinitos.

A ver, porque creo que no entiendo bien todo esto...



No entiendo bien qué estamos construyendo aquí. Creo que luego lo entiendo con la lista en sí, pero no puedo estar seguro... ¿Qué es lo que formas en columna? ¿Una lista con la expresión decimal de todos los números reales (entre 0 y 1) que agrupas según las dos primeras cifras decimales?

Si.

Es decir, que particionas todos los números de esa lista en conjuntos que agrupan los que empiecen con las mismas dos cifras decimales, y luego formas el conjunto de todos esos conjuntos... ¿es correcto?

Si.

Aquí ya es que ni me atrevo a especular sobre qué quieres decir... ¿qué es para tí coger en diagonal una cifra de cada número empezando aleatoriamente? Creo que esto es crítico para entender a qué llamamos m.

Pues que dá igual el conjunto del que empieces en la primera cifra siguiendo el método diagonal utilizado por Cantor. Y que el conjunto de conjuntos utilizado para formar ese nuevo conjunto diagonal, lo llamamos m.

¿Pero sumamos en todas las cifras o sólo en las dos primeras? ¿Estamos llamando conjunto también a los números, o sólo a las agrupaciones?

Siempre estamos hablando de conjuntos. Los puntos representan todas las combinaciones posibles que permite el sistema numérico que utilizamos (base esponencial) desde esa cifra en adelante.

¿Qué significa que un conjunto infinito sea 50 veces mayor que otro?

Para mí nada lógico. Ya he esplicado en la exposición que utilizo el concepto cuantitativo de infinito por facilitar o adaptar la esplicación a quienes sí consideran lógico concretar cuantitativamente el infinito.

En concreto me refiero a que el conjunto M es 50 veces mayor que el m. Pero no son para mí conjuntos de cantidad infinita de elementos; sino, conjuntos de formación infinita en el proceso, osea, de proceso inconcluible.

Por más que lo leo, de verdad que no entiendo nada... Y como todo lo siguiente parece que se basa en esto...




No sé qué método de la diagonal de Cantor habrás leído, pero es mucho más simple que todo esto...

Definición: Dos conjuntos tienen el mismo cardinal si sus elementos pueden ponerse en correspondencia biunívoca, i.e. para dos conjuntos A y B, a cada elemento a de A le corresponde un único elemento b de B (y diferente para cada a), y recíprocamente, a cada elemento b de B le corresponde un único elemento a de A (y diferente para cada b).

Definición: Un conjunto A tiene cardinal mayor que el de otro conjunto B si, para cada elemento b de B se puede encontrar una correspondencia con un único elemento a de A (y diferente para cada b), pero no es posible para cada a de A encontrar un único elemento de B (y diferente para cada a).

Proposición: Los números reales entre 0 y 1 tienen un cardinal mayor que el de los números naturales.
Primero veamos que no tienen el mismo cardinal, para lo cual supongamos que fuera falso, y que los números reales entre 0 y 1 tienen el mismo cardinal que los naturales. Si esto fuera así, podríamos hacer corresponder a cada natural un real entre 0 y 1, un único real, y por cada real entre 0 y 1 habría un único natural que se corresponde con él.

Todo esto es independiente al fundamento real del ejp. Forma parte del propósito que se persigue con el ejp., pero nó de sus fundamentos; así que no es parte de la discursión

Así que expresamos todos los números reales entre 0 y 1 en notación decimal y los ordenamos en una lista... Ponemos primero el número real que corresponde al natural 1, debajo el que corresponde al 2, y así sucesivamente. Ahora construimos un número real componiendo sus decimales de forma que:
- la primera cifra decimal (después del 0,) sea diferente a la primera cifra decimal del primer número real de la lista
- la segunda cifra decimal sea diferente a la segunda cifra decimal del segundo número real
- la tercera cifra decimal sea diferente a la tercera cifra decimal del tercer número real
- ...
Y ASÍ PARA TODOS LOS NÚMEROS NATURALES.

Aquí radica el error del razonamiento del ejp. de Cantor. ASÍ SOLO PODEMOS UTILIZAR PARTE DE ESA FILA Y NO "LA FILA", POR LO QUE NO ES UN ABSURDO EL ENCONTRAR NÚMEROS QUE NO PERTENEZCAN A LOS UTILIZADOS, YA QUE ESTOS NO SON EL TOTAL DE LOS ENUMERADOS CON TODOS LOS NÚMEROS NATURALES QUE COMPONENE LA FILA.

El nuevo número construido es un número real entre 0 y 1, pero que no puede estar en la lista, ya que no es el primero de la lista, porque, al menos, su primera cifra decimal no coincide, tampoco es el segundo, porque su segunda cifra decimal no coincide, ..., no es el enésimo porque su enésima cifra decimal no coincide, ... No es ninguno!

Porque te estas refiriendo solo a los utilizados en la composición de la diagonal, en una ordenación de muchos mas números que cifras para concretarlos.

Pero, la suposición inicial era que estaban todos,

Erronea.

así que hemos llegado a una contradicción,

Erroneamente.

y por tanto, la suposición inicial era falsa,

El ejp. no lo demuestra.

y no se puede hacer dicha lista, i.e. no se pueden hacer corresponder biunívocamente los reales entre 0 y 1 con los números naturales,

La parte de los naturales utilizada para la diagonal.

y por tanto no tienen el mismo cardinal.

No lo demuestra.

Ahora bien, sí que puedo hacer corresponder para cada natural un real entre 0 y 1... tomando para n natural el real 1/(n+1). Por lo que el cardinal de los reales entre 0 y 1 es (de acuerdo con la definición) mayor que el de los naturales. #

Esto es harina de otro costado y el ejp. no lo demuestra; por lo que, en principio, con la mismas garantias podríamos decir que lo contrario. Completa la composición algebraica de todos los números y dejaras de ver distinción.
El concepto de unidad de propiedad continua, internamente carece de propiedades cuantificables propias; solo comparativas, osea relalivas a una unidad menor, dejando de tratarla como una unidad, creando discretizaciones menores.
La unidad indivisa no está a la izquierda de la coma, sino en el monomio con el exponente de menor valor del polinomio que compone el número y desde la pretensión matemática de precisar en mayor o menor medida cuantitativa.

Esta demostración se puede cuestionar de varias formas... para empezar hay una corriente de pensamiento que niega la validez de las demostraciones por reducción al absurdo... otra forma sería cuestionar que todos los números reales se puedan expresar con notación decimal. Otra sería cuestionar las definiciones de cardinalidad. Incluso puedes argumentar que para los pasos necesarios en la demostración hay que realizar un proceso infinito, y no es aceptable (hay otra corriente de pensamiento que niega las demostraciones que no sean finitas).

Pero el argumento de que la diagonal se acaba es una falacia probablemente provocada por lo que ocurre con un conjunto finito...

Pero ese no es el argumento que yo estoy utilizando.

por ejemplo, si no son los números reales, sino todos los números entre 0 y 1(binarios, para economizar) con 3 cifras binarias:

0,000
0,001
0,010
0,011
0,100
0,101
0,110
0,111

Es bien cierto, que la diagonal se te acaba antes de pasar del tercer número, pero si tenemos infinitos (entendiendo por este infinito que, cuando vamos a por otra cifra más, siempre la podremos coger), la diagonal no se acaba.

Si intentas llevar esta idea a conjuntos infinitos, y agrupas por las tres primeras cifras binarias, de forma que la lista de ahí arriba sea una lista de conjuntos, cada uno con un número infinito de elementos... no estás siguiendo el procedimiento de Cantor... porque es clave que estén uno a uno en la lista, ya que en teoría, hemos encontrado la correspondencia biunívoca con los naturales.

Pero no estas utilizando en el ejp. de cantor todos los naturales que sí corresponden a la cantidad infinita de cifras que componen, tanto los naturales como los decimales; por lo que quedan tambien otros tantos decimales al margen de la diagonal.

En caso contrario, estás haciendo una partición finita, y aplicando el método a las particiones (no a los números), y como hay un número finito de ellos, pues claro que se acaba la diagonal, y claro que encuentras el conjunto en el que está el que acabas de construir.

Y, ¿acaso el método de concretar cifras de cada número de composición infinita para crear distinción concreta entre estos no es una aplicación finita?, ¿eres tu capaz, o sabes de una sola aplicación de valor infinito, directa, en vez de hacerla mediante estimación o desestimación de aplicaciones finitas?. ¿Qué nos garantiza de las propiedades del infinito cualquier aplicación concluyente si su naturaleza tiene que ser por obligación de procedimiento operativo finito?.

Saludos.

[mrwhite]

Re: Los infinitos.

A ver, porque creo que no entiendo bien todo esto...

Voy a utilizar el argumento de Cantor, pero más minuciosamente, pasito a pasito:

Colocando en una columna todas las variaciones posibles de conjuntos de decimales con las dos primeras cifras decimales diferentes en identidad y o orden,

No entiendo bien qué estamos construyendo aquí. Creo que luego lo entiendo con la lista en sí, pero no puedo estar seguro... ¿Qué es lo que formas en columna? ¿Una lista con la expresión decimal de todos los números reales (entre 0 y 1) que agrupas según las dos primeras cifras decimales?

formamos esta columna de 100 conjuntos de decimales. Este conjunto de conjuntos lo llamamos M

Es decir, que particionas todos los números de esa lista en conjuntos que agrupan los que empiecen con las mismas dos cifras decimales, y luego formas el conjunto de todos esos conjuntos... ¿es correcto?

0,……………..
0,3 2…………..
0,3 3…………..
* 0,3 5…………..
* 0,3 6…………..
0,3 7…………..
0,3 8…………..
0,………………

0,………………
0,46…………...
* 0,47…………...
0,48……………
0,………………

y cogemos en diagonal una cifra de cada número empezando aleatoriamente. Por ejp. 0,36………….. y el conjunto de conjuntos que hemos necesitado para formarlo

0,35…………..
0,36…………..

Lo lamamos m .

Aquí ya es que ni me atrevo a especular sobre qué quieres decir... ¿qué es para tí coger en diagonal una cifra de cada número empezando aleatoriamente? Creo que esto es crítico para entender a qué llamamos m.

Seguidamente le sumamos un valor a cada cifra del conjunto de números resultante, solo en estas dos primeras cifras, formamos un nuevo conjunto decimal 0,47………….. distinto a los conjuntos con los que se a formado el número-conjunto creado en diagonal y que componen m; pero sin embargo, ya existe en el conjunto M, y esto es posible porque el conjunto M es 50 veces mayor que el conjunto m.

¿Pero sumamos en todas las cifras o sólo en las dos primeras? ¿Estamos llamando conjunto también a los números, o sólo a las agrupaciones?

¿Qué significa que un conjunto infinito sea 50 veces mayor que otro?

CONCLUSIÓN- Luego con esto no podemos demostrar que sea mayor el conjunto (m + 0,47……….) de conjuntos utilizados para formar el numero-conjunto diagonal, que el conjunto M de conjuntos de números decimales con las dos primeras cifras diferentes en identidad y o orden que nos permite formar el conjunto de los caracteres del sistema decimal.

Por más que lo leo, de verdad que no entiendo nada... Y como todo lo siguiente parece que se basa en esto...

Si aumentamos la condición de no repetirse el número en las tres primeras cifras decimales, formaremos el conjunto de 1000 conjuntos de números

0,……………..
0,3 5 7…………
0,3 5 8…………
* 0,3 5 9…………
* 0,3 6 0………..
* 0,3 6 1………..
0,3 6 2………..
0,3 6 3………..
0,………………

0,………………
0,471………….
* 0,472………….
0,473………….
0,………………

Al que llamamos M´, y formamos otro número-conjunto al azar 0,361………. Al cual le sumamos un valor a cada una de las tres primeras cifras decimales para formar otro conjunto 0,472………. que no está en el conjunto de conjuntos que hemos necesitado esta vez para formar el conjunto diagonal, que llamamos m´.
Pero que, al igual que antes, sí está en el conjunto M´, el cual es 1000/3 veces mayor.

Y nuevamente llegamos a la misma conclusión anterior; pero percatándonos además de que conforme más cifras concretamos en esta dinámica comparativa, más diferencia hay entre M y m, pudiendo decir que el aumento de esa diferencia de naturaleza M>m evoluciona hacia el infinito conforme concretamos hacia el infinito las cifras a diferenciar, en un proceso inacabable, garantizándonos que en ese proceso no se podrá dar la posibilidad de que se puedan formar números decimales mediante el sistema de la diagonal, que no estén entre los números, aunque inacabables, que permite la combinación de los diez caracteres que componen es sistema decimal.

Luego mi conclusión es que Cantor se equivocó en su razonamiento por el cual creía que creaba números decimales que no existen en el conjunto de los que componen todos los posibles de combinar todas las variaciones de los caracteres que compongan un sistema numérico dado.

Y con ello no es válida la afirmación, basándose en este argumento, de que el conjunto de los números Decimales es de un infinito mayor que el conjunto de los números Naturales.


Bueno ya me he cansado por hoy. Espero vuestras críticas meditadas concienzudamente y no a la ligera. No se trata de llevar la contraria a nadie, sino de enriquecer o corregir mediante el razonamiento.

Saludos.

No sé qué método de la diagonal de Cantor habrás leído, pero es mucho más simple que todo esto...

Definición: Dos conjuntos tienen el mismo cardinal si sus elementos pueden ponerse en correspondencia biunívoca, i.e. para dos conjuntos A y B, a cada elemento a de A le corresponde un único elemento b de B (y diferente para cada a), y recíprocamente, a cada elemento b de B le corresponde un único elemento a de A (y diferente para cada b).

Definición: Un conjunto A tiene cardinal mayor que el de otro conjunto B si, para cada elemento b de B se puede encontrar una correspondencia con un único elemento a de A (y diferente para cada b), pero no es posible para cada a de A encontrar un único elemento de B (y diferente para cada a).

Proposición: Los números reales entre 0 y 1 tienen un cardinal mayor que el de los números naturales.
Primero veamos que no tienen el mismo cardinal, para lo cual supongamos que fuera falso, y que los números reales entre 0 y 1 tienen el mismo cardinal que los naturales. Si esto fuera así, podríamos hacer corresponder a cada natural un real entre 0 y 1, un único real, y por cada real entre 0 y 1 habría un único natural que se corresponde con él. Así que expresamos todos los números reales entre 0 y 1 en notación decimal y los ordenamos en una lista... Ponemos primero el número real que corresponde al natural 1, debajo el que corresponde al 2, y así sucesivamente. Ahora construimos un número real componiendo sus decimales de forma que:
- la primera cifra decimal (después del 0,) sea diferente a la primera cifra decimal del primer número real de la lista
- la segunda cifra decimal sea diferente a la segunda cifra decimal del segundo número real
- la tercera cifra decimal sea diferente a la tercera cifra decimal del tercer número real
- ...
Y así para todos los números de la lista.

El nuevo número construido es un número real entre 0 y 1, pero que no puede estar en la lista, ya que no es el primero de la lista, porque, al menos, su primera cifra decimal no coincide, tampoco es el segundo, porque su segunda cifra decimal no coincide, ..., no es el enésimo porque su enésima cifra decimal no coincide, ... No es ninguno! Pero, la suposición inicial era que estaban todos, así que hemos llegado a una contradicción, y por tanto, la suposición inicial era falsa, y no se puede hacer dicha lista, i.e. no se pueden hacer corresponder biunívocamente los reales entre 0 y 1 con los números naturales, y por tanto no tienen el mismo cardinal.

Ahora bien, sí que puedo hacer corresponder para cada natural un real entre 0 y 1... tomando para n natural el real 1/(n+1). Por lo que el cardinal de los reales entre 0 y 1 es (de acuerdo con la definición) mayor que el de los naturales. #



Esta demostración se puede cuestionar de varias formas... para empezar hay una corriente de pensamiento que niega la validez de las demostraciones por reducción al absurdo... otra forma sería cuestionar que todos los números reales se puedan expresar con notación decimal. Otra sería cuestionar las definiciones de cardinalidad. Incluso puedes argumentar que para los pasos necesarios en la demostración hay que realizar un proceso infinito, y no es aceptable (hay otra corriente de pensamiento que niega las demostraciones que no sean finitas).

Pero el argumento de que la diagonal se acaba es una falacia probablemente provocada por lo que ocurre con un conjunto finito... por ejemplo, si no son los números reales, sino todos los números entre 0 y 1(binarios, para economizar) con 3 cifras binarias:

0,000
0,001
0,010
0,011
0,100
0,101
0,110
0,111

Es bien cierto, que la diagonal se te acaba antes de pasar del tercer número, pero si tenemos infinitos (entendiendo por este infinito que, cuando vamos a por otra cifra más, siempre la podremos coger), la diagonal no se acaba.

Si intentas llevar esta idea a conjuntos infinitos, y agrupas por las tres primeras cifras binarias, de forma que la lista de ahí arriba sea una lista de conjuntos, cada uno con un número infinito de elementos... no estás siguiendo el procedimiento de Cantor... porque es clave que estén uno a uno en la lista, ya que en teoría, hemos encontrado la correspondencia biunívoca con los naturales. En caso contrario, estás haciendo una partición finita, y aplicando el método a las particiones (no a los números), y como hay un número finito de ellos, pues claro que se acaba la diagonal, y claro que encuentras el conjunto en el que está el que acabas de construir.

[Adosgel]

Re: Los infinitos.

http://campusvirtual.unex.es/cala/ep...onal_de_Cantor

Aunque estoy de acuerdo en buena parte con los intuistas, estos, tambien razonan mal el ejp. de la diagonal.

Saludos.

[Adosgel]

Re: Para Adosgel.

¡Y tienes toda la razón del mundo! Por eso mismo digo que no entiendes el método de reducción al absurdo. Precisamente, Cantor demostró que es imposible colocar en forma de sucesión todos los reales, así que no puedes criticarle eso a la demostración, pues era eso precisamente lo que había que demostrar.



No rotundo. Si lees bien la demostración verás que Cantor no dice eso. Cantor supone que los reales son nuemrables, es decir, que se pueden colocar en forma de sucesión. Supone la existencia de dicha sucesión y a partir de ella, construye un real que no está en dicha sucesión. Independientemente de cual sea la sucesión.



Obvio, precisamente es lo que se quiere demostrar. Pero para ello se supone lo contrario! Por eso repito, lo que no comprendes es la metodología de una demostración por reducción al absurdo, dado qeu tus apreciaciones son, en general, correctas.

Un saludo, Adosgel. Cuando comprendas el esqeuma de la demostración todo te quedará claro y meridiano.

No tengo tiempo ahora pa4ra responderos a todos, así que voy a seleccionar la intervención de NuezMoscada por ir directamente al asunto.

NuezMoscada, si has leido entera mi´última intervención, podrás ver que he utilizado el ejp. de la diagonal tambien para los números enteros positivos e incluso para los números con la composición algebraica completa. Y en todos los casos resulta imposible meter todos los números, puestos en columna, en la diagonal de Cantor.
¿No es eso cierto?

Y si lo es, ¿qué demuestra con ello Cantor?.

En realidad, lo que quería demostrar cantor con su ejp. esa el absurdo de poder numerar, aunque sea con una cantidad infinita de números, la totalidad del conjunto de números reales, basándose en que el número resultante de la modificación del número formado por la diagonal, no pertenece a la columna debido a que la diagonal abarca toda la columna, cosa que no es cierta, como ya he demostrado.
Pero además, esto, de ninguna de las maneras demuestra, sea un ejemplo bien o mal razonado, nada diferenciador entre los números decimales y los enteros.

Respecto al ejp. de la wikipedia, y para los que consideren lógico un infinito cuantitativo, osea, una camtidad infinita posible, r=a/infinito. Cosa que considero un error como definición de r como número racional, pues para mí representa un proceso u operación inacavable.

Entro, siento no saber ingles.

Saludos.

[NuezMoscada]

Para Adosgel.

Antes de nada, Adosgel, remitirme al post que ya publiqué en su día explicando el método de la diagonal de Cantor. Si ambos hablamos en un mismo contexto y no te inventas términos del tipo "composición de la numeración" y usas la definición de infinito como la que es, y no como la que tú entiendes, tal vez podamos entendernos.

El post es este http://forum.lawebdefisica.com/showthread.php?t=1277 y en aras del entendimiento te ruego qeu lo leas hasta que lo entiendas, al igual que yo me he esforzado en entender tus post, cosa nada fácil, debido a que no hablamos el mismo lenguaje.

Una vez lo entiendas, pregunta lo que quieras, de forma concreta, por favor, si no, repito, y siento ser pesada, esto no acabará nunca.

Bien, una vez hayas hecho esto, voy a comentar dónde creo que reside tu confusión:

Básicamente, creo qeu no comprendes qué es una demostración por reducción al absurdo. En una demostración por reducción al absurdo, uno parte de lo contrario de lo que quiere demostrar, en este caso, negamos que los reales sean no-numerables, es decir, suponemos que son numerables. A partir de tal suposición se busca llegar a una contradicción, con lo cual la tesis inicial no puede ser verdadera. Para ver un ejemplo, ahí tienes la wikipedia http://es.wikipedia.org/wiki/Demostr...B3n_al_absurdo

Y ahora un par de consideraciones erróneas que has hecho (no puedo con todas, me llevaría demasiado tiempo y no me sobra):

Ya he esplicado que la sucesión de la diagonal no tiene la propiedad de comprender o abarcar todos los nº que permite el sistema numérico en todas sus combinaciones, la mayoría de ellas estan fuera del alcance de dicha diagonal, la hagas con los nº que la hagas.

Cantor se equibocó creyendo que puede abarcar todos los nº decimales en esa diagonal, ahí está su error de aplicación del ejp.

¡Y tienes toda la razón del mundo! Por eso mismo digo que no entiendes el método de reducción al absurdo. Precisamente, Cantor demostró que es imposible colocar en forma de sucesión todos los reales, así que no puedes criticarle eso a la demostración, pues era eso precisamente lo que había que demostrar.

No, lo que Cantor quiso demostrar concretamente y sin plantearnos más deducciones posteriores es que formando una columna infinita con todos los nº decimales que comprenden todas las combinaciones posibles, puede tomarse un nº decimal compuesto por la diagonal de esa columna, variar cada cifra un valor y formar así otro nº decinal que no existe en dicha columna.
Y esto, te digo que es incorrecto, porque con la diagonal utilizas una parte infinitésima del total de nº decimales; estando el nº resultante entre el resto de los no utilizados para la diagonal de la columna que compone el conjunto de los nº decimales.

No rotundo. Si lees bien la demostración verás que Cantor no dice eso. Cantor supone que los reales son nuemrables, es decir, que se pueden colocar en forma de sucesión. Supone la existencia de dicha sucesión y a partir de ella, construye un real que no está en dicha sucesión. Independientemente de cual sea la sucesión.

Y esto, te digo que es incorrecto, porque con la diagonal utilizas una parte infinitésima del total de nº decimales; estando el nº resultante entre el resto de los no utilizados para la diagonal de la columna que compone el conjunto de los nº decimales.

Obvio, precisamente es lo que se quiere demostrar. Pero para ello se supone lo contrario! Por eso repito, lo que no comprendes es la metodología de una demostración por reducción al absurdo, dado qeu tus apreciaciones son, en general, correctas.

Un saludo, Adosgel. Cuando comprendas el esqeuma de la demostración todo te quedará claro y meridiano.

[Entro]

Re: Los infinitos.

Para no alargar más esta discusión que se está volviendo cíclica. Citaremos una referencia solvente sobre matemáticas:

The Cantor diagonal method, also called the Cantor diagonal argument or Cantor's diagonal slash, is a clever technique used by Georg Cantor to show that the integers and reals cannot be put into a one-to-one correspondence (i.e., the uncountably infinite set of real numbers is "larger" than the countably infinite set of integers). However, Cantor's diagonal method is completely general and applies to any set as described below.

http://mathworld.wolfram.com/CantorDiagonalMethod.html

Traduciendo la clave:

...is a clever technique used by Georg Cantor to show that the integers and reals cannot be put into a one-to-one correspondence ...

...es una técnica inteligente usado por Georg Cantor para mostrar que los enteros y los reales no se pueden poner en correspondencia biunívoca...

Con lo cual, lo que dj-jara y yo estamos diciendo puede ser demostrado, está refrendado por la bibliografía y esas cosillas.

Que los reales son no numerables es algo que comparto y que en ningún momento estoy cuestionando. Lo que cuestiono es la interpretación del ejp. de la diagonal como prueba de ello.

Eso es fantástico, ahora lo que tienes que hacer es proponer una prueba alternativa y demostrár donde falla la diagonal de Cantor y ya está.

[Dj_jara]

Re: Los infinitos.

ya que no considero lógico un infinito de naturaleza o propiedades cuantitativas.

Que los reales son no numerables es algo que comparto y que en ningún momento estoy cuestionando. Lo que cuestiono es la interpretación del ejp. de la diagonal como prueba de ello.

Entonces que entiendes por no numerables?

Dj-jara, te estas complicando demasiado innecesariamente, por mucho que apliques lógica matemática no dás con el error fundamental del ejemplo de Cantor.

Principalmente porque no hay

Las convinaciones que se crean en el álgebra de composición de los númerios aumentan exponencialmente (al sistema numérico empleado, por ejp. el decimal) al nº de cifras empleadas para concretar los números; mientras que el conjunto de números empleados por Cantor para formar esa diagonal, aumenta de manera adicionalm, uno a uno, conforme aumentamos en nº de cifras de los componentes de la columna; así que nunca nos vale el método de la diagonal para abarcar todos los números de la columna, estando en el resto de la columna el nº resultante de la modificación del nº diagonal. Y no pudiendo demostrar con ello nada relaccionado con propiedad alguna, intuitiva o no intuitiva respecto al conjunto en cuestión.

CANTOR SE EQUIBOCABA EN LA APLICACIÓN E INTERPRETACIÓN DEL EJP. (mi razonamiento me lleva a esta conclusión, mientras que nadie me rectifique lo razonado) Y eso no quita ni una pizca de mi admiración por sus delirios mentales.

Me parece un poco estúpido dar vueltas siempre sobre lo mismo, así que si quieres criticar la demostración de Cantor hazlo bien, y encuentra el termino de la sucesión que es igual al número obtenido de la diagonal, no hay otro método si el número obtenido de la diagonal pertenece a la successión eso es lo que hay que hacer para demostrarlo)



P.D. Este hilo se está revisando y se decidirá en breve que hacer con el.