Depósitos de combustible

[Albert]

Hola.

Tengo un problema muy bonito:

"En un circuito automovilístico se han colocado, aleatoriamente, N depósitos vacíos. Tomamos una cantidad de combustible que equivale a la que utiliza un coche para dar una vuelta al circuito, y la distibuimos entre los depósitos. En cada depósito puede haber diferente cantidad de combustible.
Pretendemos coger un coche, inicialmente con el depósito vacío, y dar una vuelta al circuito. Demostrar que hay algún punto del recorrido en el que, si comenzamos, completaremos la vuelta.
Se supone que el coche consume de manera constante e independiente de su carga, y que no hay problema de capacidad de repostaje."

A ver si os gústa y queréis incorporarlo a la lista

Saludos
Albert.

[carroza]

Re: Depósitos de combustible

Sí que es un problema bonito.

Matemáticamente, es equivalente a demostrar que, si dos funciones arbitrarias definidas en un mismo intervalo tienen la misma integral, entonces hay al menos un punto en el que una función es mayor o igual que la otra.

No daré mas explicaciones, por si hay mas gente que se quiera comer el coco con esto.

[carroza]

Re: Depósitos de combustible

Hola.

Tras hacer una sesuda demostración matemática de este problema, me he percatado de que existe una solución perfectamente válida, perfectamente razonable, que no exige saber nada de matemáticas, no conocer a priori las posiciones o cantidades de combustible de los depósitos.

Llamemosla "la solución de Fernando Alonso".

Requiere que nos permitan dar una vuelta previa al circuito, con el deposito suficientemente lleno inicialmente, y que podamos conocer el nivel del deposito.

Recorremos el circuito, empezando por cualquier punto, y vamos gastando nuestro combustible, y repostando en los depositos. Al final del recorrido, tendremos el deposito al mismo nivel inicial.

Habrá un punto de este recorrido en el cual el deposito estaba al minimo de nivel.

Pues bien, ese es el punto del que tenemos que partir, con el deposito a cero (inmediatamente lo llenamos con el primer deposito que encontramos), para completar el circuito. Por cada punto que pasemos del circuito, el nivel de combustible debe ser superior a cero, ya que correspondera al nivel que habia en la vuelta de prueba menos el nivel minimo de la vuelta de prueba.



Creo que este es un buen ejemplo de problemas prácticos, que pueden resolverse sin recurrir explicitamente a formalismos matematicos. La buena física experimental esta llena de estos casos.

[Machinegun]

Re: Depósitos de combustible

La solución de carroza parece muy ingeniosa aunque no estoy seguro de haberla entendido bien. Yo propongo una solución completamente diferente, a ver qué les parece.

Parto de la suposición de que cuando el enunciado del problema dice “Demostrar que hay algún punto del recorrido en el que, si comenzamos, completaremos la vuelta”, con “punto del recorrido” se refiere a uno de los N lugares donde hay un depósito, puesto que inicialmente el coche tiene el tanque vacío.
Empecemos suponiendo que tenemos dos depósitos en el circuito, D1 y D2, por lo que si escogiéramos uno al azar (digamos D1) y vertiéramos su contenido en el depósito del coche sólo habría dos opciones: que llegáramos a D2 o que no llegáramos. Si suponemos la primera opción, entonces con el combustible de D2 completaríamos la cantidad total de combustible necesaria para cubrir el circuito. Si suponemos la segunda opción, es decir, si no llegáramos a D2, es obvio que entonces desde D2 si llegaríamos a D1 para repostar. Digo obvio porque es imposible que si de D1 no llegamos a D2 tampoco lleguemos de D2 a D1, puesto que entonces querría decir que el combustible no era suficiente para completar el circuito. Con esto se demuestra que si son sólo dos los depósitos siempre habrá uno de ellos desde el que podemos comenzar para completar el circuito. Podemos hacer una operación imaginaria (llamémosla colapso) que consiste en reducir los dos depósitos en uno, es decir, la situación es equivalente a tomar la cantidad de combustible que hay en el depósito desde el que no llegamos al otro y verterla en ese otro de tal manera que contuviera el total del combustible necesario para completar el circuito. Bueno, pero no son 2 depósitos sino N. Entonces razonamos así: si yo escojo un depósito cualquiera Di, tengo dos posibilidades: llego al siguiente depósito o no llego. Si llego, entonces podemos colapsar los depósitos, es decir, imaginar que el contenido del depósito Di+1 se vertiera en el Di, de modo que podemos considerar que esos dos depósitos pudieron haber sido uno solo con la suma de sus combustibles. Si no llego al siguiente depósito, entonces ya no escojo Di sino Di+1 y repito el procedimiento. Yo sé que es imposible que no haya algún depósito con cuyo combustible llegue al siguiente. Ahora bien, cada vez que de un depósito se llega al siguiente se colapsan ambos depósitos. Esta operación se puede hacer tantas veces como sea necesario para llegar a dos depósitos y por lo tanto a uno. Con esto se demuestra que al menos hay un depósito desde el que con seguridad podremos completar el circuito.

Supongo que hay una solución más sencilla o una manera más simplificada de explicar esta, pero es la única que encontré con el tiempo del que dispongo.
Saludos