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Aunque no descubriera nada notable ni llegase a formular ningún teorema digno de nota, todos estamos de acuerdo en que el más culto y dotado de los matemáticos nacidos en España ha sido el riojano don Julio Rey Pastor (1888-1962). Siempre que se habla de él, las gentes de selecta cuna consideran de buen tono decir: “el gran (o incluso “el genial”) matemático español de Logroño don Julio Rey Pastor”… Se trata además de un hombre al que, como ocurría también, entre tantos otros, con don Wenceslao Fernández-Flórez (y ello debido a muy parecidas razones nasales), siempre ha sido prudente fotografiarlo de frente y no de perfil, a fin de ahorrar espacio en los papeles y no sobresaltar sin necesidad a la infancia incauta y desvalida.
El caso es que a finales de 1905, en el número 20 de la zaragozana Revista Trimestral de Matemáticas, apareció la elegante resolución dada por Rey Pastor, que entonces tenía 17 años y quizá estrenaba novia, a un ejercicio de teoría de números propuesto por un tal L. de Alba. Daré aquí el enunciado del asunto y unas cuantas indicaciones de cómo lo enfocó nuestro autor para que a partir de ahí el curioso, inteligente y discreto lector extraiga sus propias conclusiones resolutivas.
El problema era el siguiente:
«Hallar los n números enteros consecutivos más pequeños cuya suma sea a la vez cuadrado y cubo perfecto.»
Pues, bien, el bueno de Julito Rey entraba sin dudarlo en harina distinguiendo dos casos posibles: n par y n impar.
● CASO A: n es impar.
Llamando entonces x al número que ocupa el lugar medio entre ellos, la suma de tales números
x-(n-1)/2, x-(n-3)/2,…, x-2,x-1,x,x+1,x+2,…, x+(n-1)/2
resulta ser nx.
Por ejemplo, si n=11, sería x=6, y la suma 1+2+…+11 = 11*6=66.
Como nx debe ser cuadrado y cubo perfecto, y el menor posible, los exponentes de los factores primos de x sumados con los de los mismos factores de n han de ser múltiplos de 6, y los menores múltiplos posibles.
&c.
● CASO B: n es par.
Llamando x al menor de los dos números que ocupan las posiciones medias, el otro será x+1, y la suma de los n consecutivos pedidos
x-n/2+1, …, x-2, x-1, x. x+1, x+2, … x+n/2
será n*(2x+1)/2, que es entero. Para que ese número sea cuadrado y cubo perfecto es necesario y suficiente que la suma de los exponentes de los mismos factores primos de ambos números sea siempre múltiplo de 6.
&c.
Una vez hallado el valor s de 2x+1, tendremos x=(s-1)/2. Ahora bien, la cuestión no es siempre posible, pues cuando n es múltiplo de 4, o sea n/2 múltiplo de 2, obtendremos en general para s valores en los que entrará el factor primo 2, y esto no puede ser, ya que la suma de dos números enteros consecutivos es siempre impar. Esta excepción desaparece cuando n/2 contenga el factor 2 con un exponente múltiplo de 6, pues entonces no entrará en s el factor 2.
El caso es que a finales de 1905, en el número 20 de la zaragozana Revista Trimestral de Matemáticas, apareció la elegante resolución dada por Rey Pastor, que entonces tenía 17 años y quizá estrenaba novia, a un ejercicio de teoría de números propuesto por un tal L. de Alba. Daré aquí el enunciado del asunto y unas cuantas indicaciones de cómo lo enfocó nuestro autor para que a partir de ahí el curioso, inteligente y discreto lector extraiga sus propias conclusiones resolutivas.
El problema era el siguiente:
«Hallar los n números enteros consecutivos más pequeños cuya suma sea a la vez cuadrado y cubo perfecto.»
Pues, bien, el bueno de Julito Rey entraba sin dudarlo en harina distinguiendo dos casos posibles: n par y n impar.
● CASO A: n es impar.
Llamando entonces x al número que ocupa el lugar medio entre ellos, la suma de tales números
x-(n-1)/2, x-(n-3)/2,…, x-2,x-1,x,x+1,x+2,…, x+(n-1)/2
resulta ser nx.
Por ejemplo, si n=11, sería x=6, y la suma 1+2+…+11 = 11*6=66.
Como nx debe ser cuadrado y cubo perfecto, y el menor posible, los exponentes de los factores primos de x sumados con los de los mismos factores de n han de ser múltiplos de 6, y los menores múltiplos posibles.
&c.
● CASO B: n es par.
Llamando x al menor de los dos números que ocupan las posiciones medias, el otro será x+1, y la suma de los n consecutivos pedidos
x-n/2+1, …, x-2, x-1, x. x+1, x+2, … x+n/2
será n*(2x+1)/2, que es entero. Para que ese número sea cuadrado y cubo perfecto es necesario y suficiente que la suma de los exponentes de los mismos factores primos de ambos números sea siempre múltiplo de 6.
&c.
Una vez hallado el valor s de 2x+1, tendremos x=(s-1)/2. Ahora bien, la cuestión no es siempre posible, pues cuando n es múltiplo de 4, o sea n/2 múltiplo de 2, obtendremos en general para s valores en los que entrará el factor primo 2, y esto no puede ser, ya que la suma de dos números enteros consecutivos es siempre impar. Esta excepción desaparece cuando n/2 contenga el factor 2 con un exponente múltiplo de 6, pues entonces no entrará en s el factor 2.