Divulgación Sucesión pí-cara

[angel relativamente]

¿Cuál es el siguiente término de la sucesión $2,5,10,17,26, \pi , \cdots$ ?

Ánimo, que es posible

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Ya que nadie se anima, doy la solución:

$$a_n = \dfrac{\pi n^5 }{120} - \dfrac{ 37 n^5}{ 120} - \dfrac{\pi n^4 }{8} + \dfrac{37n^4}{8} +\dfrac{17\pi n^3 } {24} -$$

$$\dfrac{629 n^3 } {24} - \dfrac {15 \pi n^2 }{8} + \dfrac{563n^2 }{ 8 } + \dfrac{ 137 \pi n }{60} - \dfrac{ 5069 n}{60} + 38-\pi$$

Donde se tiene que $a_7 = \pi - 172$

Naturalmente esa expresión monstruo no sale de ir probando números. La idea es simple: buscamos una sucesión que una parte de ella se anule para valores pequeños (hasta n=5).
De hecho, si en la expresión de $a_n$ cambiáis $\pi$ por $x\in \mathbb{R}$, os debe de definir la sucesión $2,5,10,17,26, x , x - 172, \cdots$

[Enphym]

Re: Sucesión pí-cara

Angel, ahi donde dice "cambiáis por " es o n ?
Realmente no supe ni que pensar pues ni a ojo ni a punta de teoria te pesque la idea jaja.Tome la calculadora y sustituí n=3 y me dio -364.625. Bien o que se supone que debia dar :P

[angel relativamente]

Re: Sucesión pí-cara

Tome la calculadora y sustituí n=3 y me dio -364.625. Bien o que se supone que debia dar :P

Has debido de sustituir mal, $n$ es la posición que ocupa el término en la sucesión. Si la sucesión es 2,5,10,17, ... , con $n=3$ te debería de dar 10, con $n=4$ daría 17, etcétera (salvo que me haya equivocado en la transcripción, ya que los cálculos me los hizo una máquina). La gracia es que para $n=6$ da $\pi$, y se pedía calcular el valor para $n=7$ (naturalmente lo pedí antes de dar la expresión), que es $\pi - 172$.
De hecho el desafío sigue abierto, os di la expresión por si alguno necesitaba verificar su solución. Pero la gracia del problema es saber cómo llegar a la expresión que pongo (y el procedimiento es sencillo). La idea es que todos sabemos calcular (pensándolo más o menos) el término enésimo de la sucesión $2,5,10,17,26, 37, \cdots$, y para darle la pizca de complicación hago que el 6º término sea $\pi$ en vez de 37 que es lo que cabría esperar. Y la pista es bien clara: montarse una sucesión que para valores pequeños funcione como la de $2,5,10,17,26, 37, \cdots$, y a partir de cierto valor empiece a torcerse.

Angel, ahi donde dice "cambiáis por " es o n ?

No, lo que quiero decir es que si en lugar de darte esa sucesión te hubiese dado la sucesión $2,5,10,17,26, 1052584 , \cdots$, para calcular el término enésimo hay que usar el mismo procedimiento que para la que propongo. Es decir, que lo mismo daba que fuese $\pi$, 1052584 o cualquier otro $x\in \mathbb{R}$.

[carroza]

Re: Sucesión pí-cara

Hola.

Angel, tengo cierta sensación de timo con esta sucesión. Es la misma de cuando la gente ajusta n datos experimentales con un polinomio de orden n-1. En tu caso, ajustas 6 números (Pi incluido), con un polinomio de orden 5, que tiene 6 coeficientes a determinar.

Por el mismo argumento, podias haber determinado los 6 coeficientes de la expresión
$S_n = a_0 + a_1 e^n + a_2 e^{2n} ... + a_5 e^{5n}$,
o los 6 coeficientes de la expresión
$S_n = a_0 + a_1 \sin(\pi/n) + a_2 \sin(\pi/2n) + ... + a_5 \sin(\pi/5n)$,
o cualquier otra expresión de 6 coeficientes que te imagines.

No hay ningún criterio para decir cuál de las expresiones de 6 parámetros es una mejor descripción de tu sucesión de 6 números.
Me hubiera convencido, e impresionado, más, si hubieras descrito los 6 números con una expresión que tuviera 5 parámetros, o menos.

Un saludo