Divulgación polígono regular

[antonioccc]

Hola buenas, he preguntado aquí un par de veces y ssiempre me habéis respondido bien, asi que deduzco que por aquí el ingenio sobra. Por eso os planteo este problema de ingenio. Podeis poner las respuestas que consideréis correctas, y mañana o pasado daré la solución correcta.

El problema es este: "Dado un polígono regular de noventa vértices, demostrar que si a cada uno le asignamos un número al azar entre el 1 y el 90, de modo que no se repita ningún número, SIEMPRE vamos a encontrar dos vértices consecutivos cuyo producto sea igual o mayor a 2013".
A ver si alguien lo resuelve.

[carroza]

Re: polígono regular

Hola.

A mi me sale una cota más alta: 45x47=2115.

Demostración: Consideremos los lados pares y los lados impares del polígono. Por otro lado, dividamos los noventa números entre los chicos (1-45) y los grandes (46-90).

Si tuviera dos números grandes contiguos, entonces su producto sería, como mínimo, 46x47=2162.

Como queremos la cota mínima al producto, consideraremos el caso en el que no hay dos números grandes contiguos. En ese caso, los números grandes estarán separados por los números chicos. Por tanto, no hay tampoco dos números chicos contiguos, y por ello, tengo que poner los números grandes en posiciones pares, y los chicos en posiciones impares (o viceversa).

Considero ahora el número 45. Es chico, por tanto, a su izquierda y a su derecha debe tener números grandes. Los números grandes más pequeños son 46 y 47. Por tanto, el producto de 45 con sus vecinos es, como mínimo, 45x47=2115.

Saludos, y gracias por el reto.

[antonioccc]

Re: polígono regular

Correcto. Lo habéis resuelto antes de lo que esperaba

[Visitante]

Re: polígono regular

Si no me equivoco ese problema es de la olimpiada matemática.

[antonioccc]

Re: polígono regular

Si no me equivoco ese problema es de la olimpiada matemática.

No lo sé, me lo dijo un amigo, y como me costo un poco resolverlo (Unos 30 min) decidi ponerlo aqui

[Visitante]

Re: polígono regular

es que cayó en la fases locales de 2014. Solo que el número no es 2013 sino 2014.

[Visitante]

Re: polígono regular

solo una duda, ¿no se considera el suceso aleatorio en el que el vértice numerado 1 sea contiguo al vértice 90 entonces su producto es 90 que es menor que 2013?

[antonioccc]

Re: polígono regular

solo una duda, ¿no se considera el suceso aleatorio en el que el vértice numerado 1 sea contiguo al vértice 90 entonces su producto es 90 que es menor que 2013?

Por su puesto, pero no nos piden demostrar que TODOS los vértices, multiplicado por uno consecutivo, dan mas de 2013. Lo que nos piden es demostrar que hay al menos uno que lo hace. Así, aunque noventa por 1 no llega a 2013, seguro que en esa distribución hay algún producto que si lo haga.