Probabilidad paradójica

[jogares]

Cinco amigos se adjudican cada uno un número diferente del 1 al 5 para sortearse un premio que han conseguido conjuntamente. El que tiene adjudicado el 5 no ha podido asistir al sorteo y aunque todavía no conoce el número ganador le dicen que tres de sus amigos no han ganado.
¿Cuál es la probabilidad de que él haya sido el ganador?

[visitante20160513]

Re: Probabilidad paradójica

La probabilidad es 1/5 porque la información obtenida después de realizar el sorteo no debe tenerse en cuenta para su cálculo.

Salu2, Jabato.

[Machinegun]

Re: Probabilidad paradójica

Si no le dicen quiénes de sus amigos no han ganado, es como si no le dijeran nada, puesto que forzosamente tres de sus amigos no ganan, por lo tanto la probabilidad de que él sea el ganador es 1/5. Si, en cambio, le dijeran, por ejemplo, que sus amigos 2, 3 y 4 no han ganado, la información sí influiría en la probabilidad, que sería de 1/2 para él y 1/2 para el amigo 1.

Saludos

[visitante20160513]

Re: Probabilidad paradójica

No, nada de eso, la probabilidad de que le toque el premio antes de hacer el sorteo sigue siendo 1/5. La probabilidad de acertar quien fue el afortunado en el segundo caso es 1/2, pero la probabilidad de que le toque en el sorteo y la de acertar en el segundo caso son probabilidades distintas de sucesos distintos con espacios muestrales distintos y por lo tanto no deben equipararse. Por ejemplo para un prestidigitador que sabe (sin que lo sepa el espectador) que la primera carta de una baraja es el As de corazones la probabilidad de acertar cual será esa carta al descubrirla será de 1, pero para el espectador la probabilidad sería de 1/52, ¿quien hace el cálculo correcto?

Salu2, Jabato.

[carroza]

Re: Probabilidad paradójica

Estoy de acuerdo con Jabato. El hecho de que, a posteriori, nos den información sobre los resultados no modifica en modo alguno nuestra probabilidad de obtener un resultado dado.

Por poner otro ejemplo actual, imaginad que jugamos a la lotería de navidad. Nuestra probabilidad de conseguir el gordo con un número es de 1/100000. Ahora imaginad que un amigo, que tiene toda la lista de premios, y que conoce el número que nosotros tenemos, nos da una lista de 99998 números (que no son el nuestro), que no tienen el gordo.

Esto no hace que mágicamente nuestra probabilidad de ganar el gordo aumente a 1/2. Lo único que significa es que nuestro "amigo" es un poco cabroncete, y que nos da información sesgada.

Saludos

[Visitante]

Re: Probabilidad paradójica

Es como el problema de Monty Hall.

[jogares]

Re: Probabilidad paradójica

Jabato ha dado la solución que yo tenía prevista. Una forma de explicarlo es: Si se repite múltiples veces el sorteo, la distribución equiprobable de casos posibles será:
Gana 1 (le dicen 234)
Gana 2 (le dicen 134)
Gana 3 (le dicen 124)
Gana 4 (le dicen 123)
Gana 5 (le pueden decir 123,124,134,234)
Casos favorables/casos posible = 1/5

[Machinegun]

Re: Probabilidad paradójica

Jabato ha dado la solución que yo tenía prevista

Por supuesto, porque según el planteamiento, "le dicen que tres de sus amigos no han ganado", lo cual no agrega ninguna información. Supón que tú eres ese 5, pues bien, aunque no te digan nada, ya sabes que tres de tus amigos no ganaron, PERO NO SABES CUÁLES, por lo tanto, esos tres amigos pueden ser distintos en cada repetición de las que propones para explicar el caso. Y hasta aquí no hay nada paradójico. Por eso insisto en que si le dijeran cuáles de sus amigos no han gando (por ejemplo, 1, 2 y 3) entonces, a partir de ese dato, su probabilidad de ganar aumenta a 1/2. Como dice Malevolex, es similar al de Monty Hall, pero creo que se parece más al que aparece aquí

http://forum.lawebdefisica.com/threa...ad-condicional

Así, la distribución equiprobable de casos posibles será:

Le dicen 234 (gana 1)
Le dicen 234 (gana 5)
Casos favorables/casos posible = 1/2

Saludos

[carroza]

Re: Probabilidad paradójica

Por supuesto, porque según el planteamiento, "le dicen que tres de sus amigos no han ganado", lo cual no agrega ninguna información. Supón que tú eres ese 5, pues bien, aunque no te digan nada, ya sabes que tres de tus amigos no ganaron, PERO NO SABES CUÁLES, por lo tanto, esos tres amigos pueden ser distintos en cada repetición de las que propones para explicar el caso. Y hasta aquí no hay nada paradójico. Por eso insisto en que si le dijeran cuáles de sus amigos no han gando (por ejemplo, 1, 2 y 3) entonces, a partir de ese dato, su probabilidad de ganar aumenta a 1/2. Como dice Malevolex, es similar al de Monty Hall, pero creo que se parece más al que aparece aquí

http://forum.lawebdefisica.com/threa...ad-condicional

Así, la distribución equiprobable de casos posibles será:

Le dicen 234 (gana 1)
Le dicen 234 (gana 5)
Casos favorables/casos posible = 1/2

Saludos

Hola. Machinegun, es que la probabilidad no es necesariamente el número de casos favorables partido por los casos posibles.

En este caso la probabilidad de ganar es 1/5. El hecho de que tu "amigo" decida decirte el nombre de los tres amigos que obviamente no han ganado el premio, no aumenta para nada la probabilidad de que tu ganes. Tu "amigo" selecciona de una lista de cuatro perdedores, los tres nombres que no son el tuyo. Por tanto, genera un sesgo, y no son equiprobables los hechos "Tu has ganado", y "ha ganado el otro que no eres tu ni los tres mencionados".

Saludos

[Machinegun]

Re: Probabilidad paradójica

Supón que tu amigo cabroncete, después de darte la lista de los 99998 números no ganadores, te dice: "El otro número lo tiene nuestro amigo Venancio". ¿Qué probabilid tendría Venancio de ganar?

Saludos

[carroza]

Re: Probabilidad paradójica

Venancio tiene, a priori, como tú, una probabilidad de ganar de 1/100000 (parto de que eres una persona muy sociable, y conoces a los 100000 compradores de la lotería.

Ahora, si tu amigo cabroncete tacha de la lista los 99998 amigos que no han ganado, la probabilidad tuya de ganar es de 1/100000, y la probabilidad tuya de no ganar, es decir, la probabilidad de que algún otro de vuestra peña de 100000 amigos gane, es de 99999/100000. El ganador obviamente tiene un nombre, que será venancio con una probabilidad de 1/99999.

Saludos.

[Machinegun]

Re: Probabilidad paradójica

A ver, Carroza, qué te parece así:

Supongamos que tú, yo y 3 personas más acordamos aportar cada uno 20 mil pesos y sortear la suma entre los 5. Nombramos un administrador de toda nuestra confianza para la ejecución del sorteo, que se haría hoy mismo para dar a conocer el resultado mañana. Hasta ahí todos tenemos la misma probabilidad de ganar, que es de 1/5 y por lo tanto nuestros números (boleto de participación) tienen un valor de 20 mil pesos. Si en ese momento yo te dijera que quiero comprar tu número tendría que darte 20 mil pesos, por lo que yo estaría participando con 2 números y tendría una probabilidad de 2/5 de ganar. Pero supongamos que tengo un amigo espía, que estuvo presente en el sorteo y sólo pudo averiguar que 3 personas no habían ganado (hasta aquí la información es absolutamente inútil), pero que entre esas tres personas NO ESTÁBAMOS NI TÚ NI YO (esa, amigo Carroza, es información muy útil por la razón que explico en seguida). Después de agradecerle encarecidamente a mi amigo espía la información, te llamo hoy mismo por teléfono y te digo: "Tú sabes que 3 de nosotros no han ganado, ¿no es así?". "Por supuesto", me respondes. "Y tu probabilidad de ganar, a pesar de que sabes que tres de nosotros no han ganado sigue siendo 1/5 y por lo tanto tu boleto sigue valiendo 20 mil pesos, ¿no es verdad?", te vuelvo a preguntar. Bueno, para ser congruente tendrías que admitir que efectivamente tu boleto cuesta 20 mil pesos. Entonces yo, que YA CUENTO CON INFORMACIÓN PRIVILEGIADA de quiénes son esos tres que no han ganado, te propongo comprarte tu boleto en 21 mil pesotes, oferta que no podrías rechazar puesto que ganarías mil pesos sin arriesgar ni un centavo. Ahora supongamos que alguien llega y te dice que yo sé quiénes son tres de los 4 que no han ganado, pero que no sé nada más: ¿me venderías tu boleto en 21 mil pesos?, ¿en cuánto te parecería justo vendérmelo?

Saludos.

[carroza]

Re: Probabilidad paradójica

Exactamente, Machinegun. En este caso, en el que tu tienes la información priviliegiada de tres que no han ganado, y aún no sabes si has ganado tu o he ganado yo, la probabilidad de que tu o yo ganemos es del 50%.

Fijate, no obstante, que la información de tu espía es muy sesgada. Dió la casualidad de que se enteró de que, entre las 3 personas que no habían ganado, no estabas ni tu ni yo. Esto es altamente improbable, si cogió tres nombres al azar de los 4 que no habían ganado. Podría haberse enterado de que yo no había ganado (en cuyo caso sería absurdo que me hicieras ninguna oferta), o de que tu no había ganado (en cuyo caso deberías ofrecerme bastante más).

Si calculas las probabilidades de estos casos, y haces su promedio probabilístico, deberías ofrecerme 20 mil pesos de media.

Saludos

[Machinegun]

Re: Probabilidad paradójica

Exactamente, Machinegun. En este caso, en el que tu tienes la información priviliegiada de tres que no han ganado, y aún no sabes si has ganado tu o he ganado yo, la probabilidad de que tu o yo ganemos es del 50%.

Hasta aquí estamos completamente de acuerdo.

Fijate, no obstante, que la información de tu espía es muy sesgada. Dió la casualidad de que se enteró de que, entre las 3 personas que no habían ganado, no estabas ni tu ni yo.

De acuerdo, pero en el caso que te estoy planteando, tú no sabes si mi espía se enteró por azar de que nosotros no estábamos entre los perdedores, o si mi espía es un cabroncete. Lo único que sabes es que tres de los 5 perdieron (de hecho sabes que 4 perdieron, porque sólo uno gana), pero yo sé (sin importar si fue por azar o por cabronadas del espía) que Fulano, Mengano y Zutano perdieron, por lo tanto podría comprarte tu boleto en 21 mil pesos. Por eso la pregunta es: si tú sabes que yo sé quienes perdieron (pero por supuesto no sabes si me enteré por un espía o por un cabroncete) ¿me venderías tu boleto en 21 mil pesos? Si no, entonces (y atenido exclusivamente a lo que dice el planteamiento del caso), ¿en cuánto me lo venderías y cómo justificarías el precio?

Ahora trataré de explicar las diferencias que veo entre el cabroncete y el espía. Partamos del mismo caso anterior, pero con estas consideraciones: si yo me entero de que mi espía es en realidad un cabroncete, entonces sé que siempre me daría tres nombres de perdedores que no fueran el mío, entre los que por supuesto podría figurar el tuyo o no. Sabiendo eso, entonces ya sé que tu probabilidad de ganar (ahora que sé que tú eres el otro no perdedor) es de 4/5 y la mía de 1/5 (éste sería un caso similar al de Monty Hall, y en este caso tu boleto valdría incluso más de 50 mil pesos); mientras que si sé de cierto que mi espía obtuvo la información al azar, entonces tu boleto y el mío valdrían lo mismo, es decir 50 mil pesos, pero si me lo quisieras vender en 21 mil pesos, yo te lo agradecería mucho.

Cuando digo en mi primer post que "Si, en cambio, le dijeran, por ejemplo, que sus amigos 2, 3 y 4 no han ganado" me refiero a esos tres amigos específicos y no a cualesquiera tres de los cuatro, y como en este caso no se suponen ni espías ni cabroncetes (puesto que no se desprenden del planteamiento), lo más lógico es pensar que la información se obtuvo por azar, pero si hubiera un cabroncete incluido, entonces la probabilidad, según yo, no sería 1/5 y 1/5, sino 1/5 y 4/5 (como sería el caso Monty Hall si fueran 4 cabras en vez de 2 y se abrieran 3 puertas en vez de 1).



Saludos