tiro al arco

[Weip]

Re: tiro al arco

Quiero comentar un par de cosas con el riesgo de quemarme puesto que no he leído todo el hilo.

Yo no creo que el radio sea relevante porque las puntuaciones en una diana suelen ir por franjas. Es decir, una flecha puede estar más cerca del centro que otra pero en cambio recibir la misma puntuación.

Además, yo también creo que los casos posibles no son equiprobables. Por eso es difícil darle a una diana, la probabilidad de dar en el centro es baja, mientras que la probabilidad de que dé en el borde o que directamente salga fuera es muy alta sin la suficiente práctica. Si asumimos que el tirador es un novato, la probabilidad de dar en el borde es más alta que en el centro. Y si el tirador es un profesional, al revés.

Estos problemas suelen ser difíciles de interpretar porque el enunciado no deja claro que condiciones debes tomar (la distancia al centro que he comentado o si los casos son equiprobables o no son un ejemplo). Espero haber sido acertado con mis comentarios, no sé si alguien ya se había percatado o no.

Re: tiro al arco

Muy bien, Jogares. Yo he supuesto en mis cálculos que todos los puntos de la diana son equiprobables, y que la probabilidad de no tocar diana es nula, pero ese es solo un supuesto porque el enunciado inicial no da detalles al respecto, y desde luego para hacer el cálculo que se intenta hacer es necesario disponer de una distribución de probabilidad de los puntos de la diana, la que yo usé porque es la más sencilla o cualquier otra que se desee, pero es necesario tener alguna. Esa es la verdera razón de que el cálculo inicial seaa incorrecto.

Salu2, Jabato.

[jogares]

Re: tiro al arco

Jogares, hice una simulación con Excel que es muy fácil de replicar: en las primeras dos columnas obtienes números aleatorios con la función ALEATORIO en 600 filas (bueno yo lo elegí con 600 por comodidad, pero lo puedes intentar con 6000 o la cantidad de tu preferencia). En la tercera columna pones un condicional para que descarte los casos en que el dato de la segunda sea menor que el de la primera y en la cuarta columna pones un condicional, por ejemplo: "si C > A entonces 1, si no 0". Luego, en la celda D601 colocas un contador de la columna D. El resultado en esta celda va a rondar cerca de los 200. Aunque más económico que la comprobación empírica es acceder a resultados como éste por medio de la probabilidad apriori.

Saludos

Para el caso de los dados (casos equiprobables) coincido contigo en el 2/3 tanto en en el cálculo de probabilidad como en la simulación pero sigo cuestionando su validez para el problema de las flechas porque en un diana los casos posibles no son equiprobables y dependen de la distancia al centro. Dentro del círculo de precisión del tirador, que caiga una flecha a 3 cm. del centro es la mitad de probable de que caiga a 6 cm.
Saludos

Re: tiro al arco

Vaya, pues va a ser que no. Ni parecido. ¿Porqué la probabilidad de la primera es 1/3?

Veamos, suponiendo que la diana tiene radio $R$ y que todos sus puntos son equiprobables (no hay datos que permitan suponer otra cosa) entonces la probabilidad de que la primera flecha se encuentre en una corona circular comprendida entre los radios $r$ y $r+dr$ es proporcional a su área y vale:

$dP_1=\displaystyle\frac{2\pi rdr}{\pi R^2}=\displaystyle\frac{2rdr}{R^2}$

La probabilidad de que la segunda tirada sea peor que la primera es proporcional al área exterior a la posición de la primera flecha, es decir:

$P_2=\displaystyle\frac{\pi(R^2-r^2)}{\pi R^2}=1-(r/R)^2$

y lo mismo para la tercera flecha:

$P_3=\displaystyle\frac{\pi(R^2-r^2)}{\pi R^2}=1-(r/R)^2$

La probabilidad combinada de los tres eventos es su producto, por lo tanto:

$dP=dP_1P_2P_3=\displaystyle\frac{2rdr}{R^2}(1-(r/R)^2)^2$

Sumando las probabilidades para todos los posibles eventos de la primera flecha, ya que esta puede caer en cualquier punto de la diana resulta:

$P_a=\displaystyle\int_0^R\displaystyle\frac{2r}{R^2}\left[1-(r/R)^2\right]^2 dr\qquad\to\qquad x=r/R\qquad\to\qquad\displaystyle\int_0^12x(1-x^2)^2 dx=1/3$

que es la probabilidad de que ocurran todos los eventos descritos en el enunciado, es decir antes de realizar ningún lanzamiento. Dicha probabilidad se puede calcular tambien suponiendo las flechas ordenadas por su posición, de forma que solo existen dos casos favorables de los seis posibles (1,2,3), (1,3,2), (2,1,3), (2,3,1), (3,1,2), (3,2,1), casos que subrayo:

$P_a=2/6=1/3$

Pero una vez se han lanzado las dos primeras flechas y sabiendo que la segunda quedó peor que la primera el cálculo cambia, puesto que el espacio muestral también lo hace. La probabilidad para la tercera flecha ya se calculó en el mensaje #10 y el resultado fue:

$P_b=\pi (R^2-r^2)/\pi R^2=(R^2-r^2)/R^2=1-r^2/R^2$

que sigue siendo correcto, puesto que la segunda flecha no influye en la probabilidad de la tercera. El resultado depende de la posición solo de la primera flecha, es decir del valor de $r$, logicamente, cosa que no ocurre en el caso anterior.


Salu2, Jabato.

[Julián]

Re: tiro al arco

Un tirador de arco ha lanzado dos flechas y la segunda ha quedado situada peor que la primera. Si lanza una tercera flecha y eliminando la posibilidad de empate ¿Cuál es la probabilidad de que quede también peor que la primera?

Es una probabilidad condicional. Siendo 1 cuando es la mejor; la probabilidad de la primera es 1/3. En donde A es el evento primero y B el evento tercero

$\dst P(B|A) = \frac{P(A) P(B)}{P(A)}= \frac{1/9}{ 1/3} = 1/3$

Lo anterior es la probabilidad de que el evento B sea el mejor dado el evento A.

Como estamos viendo la posibilidad que el evento B sea el malo entonces:

$\dst P(\bar{A}) = 1 - P(A|B) = \frac{2}{ 3}$

¿Cuál es la probabilidad de que quede también peor que la primera?

Rta: 2/3

Re: tiro al arco

Veamos utilicemos la fuerza bruta para analizar el caso, (i,j) representa las dos primeras tiradas:

(1,2) -> 3,4,5,6 Posibles 4 Favorables 4 Mayor 4
(1,3) -> 2,4,5,6 Posibles 4 Favorables 4 Mayor 3 Intermedio 1
(1,4) -> 2,3,5,6 Posibles 4 Favorables 4 Mayor 2 Intermedio 2
(1,5) -> 2,3,4,6 Posibles 4 Favorables 4 Mayor 1 Intermedio 3
(1,6) -> 2,3,4,5 Posibles 4 Favorables 4 Mayor 0 Intermedio 4
(2,3) -> 1,4,5,6 Posibles 4 Favorables 3 Mayor 3 Intermedio 0 Menor 1
(2,4) -> 1,3,5,6 Posibles 4 Favorables 3 Mayor 2 Intermedio 1 Menor 1
(2,5) -> 1,3,4,6 Posibles 4 Favorables 3 Mayor 1 Intermedio 2 Menor 1
(2,6) -> 1,3,4,5 Posibles 4 Favorables 3 Mayor 0 Intermedio 3 Menor 1
(3,4) -> 1,2,5,6 Posibles 4 Favorables 2 Mayor 2 Intermedio 0 Menor 2
(3,5) -> 1,2,4,6 Posibles 4 Favorables 2 Mayor 1 Intermedio 1 Menor 2
(3,6) -> 1,2,4,5 Posibles 4 Favorables 2 Mayor 0 Intermedio 2 Menor 2
(4,5) -> 1,2,3,6 Posibles 4 Favorables 1 Mayor 1 Intermedio 0 Menor 3
(4,6) -> 1,2,3,5 Posibles 4 Favorables 1 Mayor 0 Intermedio 1 Menor 3
(5,6) -> 1,2,3,4 Posibles 4 Favorables 0 Mayor 0 Intermedio 0 Menor 4

Los totales son Posibles 60 Favorables 40 Mayor 20 Intermedio 20 Menor 20 luego la probabilidad es 2/3, correcto. En este caso estamos de acuerdo pero en otros parece que no.

¿Porqué no retomamos el problema inicial del hilo, en el que parece que no estábamos de acuerdo?

Salu2, Jabato.

- - - Actualizado - - -

La cuestión es que cuando supones que alguna de las tiradas, o incluso las dos primeras, ya se ha producido entonces todo el cálculo resulta modificado, tanto en el numero de posibilidades como en el de jugadas favorables, y además ocurre que los tres casos Mayor, Menor e Intermedio ya no resultan ser equiprobables, y todo depende de cuales sean las primeras tiradas. Ocurre algo parecido con los dardos. Las probabilidades antes de tirar el primero se comportan como dice el primer mensaje de este hilo, pero si supones que las dos primeras tiradas ya se han producido entonces todo el cálculo resulta modificado y la probabilidad en la tercera jugada no puede calcularse de esa forma.

Salu2, Jabato.

[Machinegun]

Re: tiro al arco

Tienes razón: es un poco injusto pedirte que hagas el trabajo, aunque debo decirte que tampoco era para tanto, pero entiendo bien tus objeciones. De modo que aquí va mi solución a la pregunta 3 y perdona si copio algunos de tus razonamiento con los que amablemente me contestaste la pregunta 1, pero es que quise aprovechar el trabajo que ya realizaste, para no duplicar esfuerzos.

3. Se lanzan 3 dados en secuencia, ¿cuál es la probabilidad de que, eliminando los empates, si el segundo dado presenta un número mayor que el primero, el tercero también sea mayor que el primero?

La respuesta es que el espacio muestral contiene 6 X 6 X 6 - 6 - 90 - 60 = 60 opciones (los empates triples y dobles deben descontarse, así como los casos en que el segundo tiro presente un número menor que el primero) que son las combinaciones posibles para las tres tiradas, y que las favorables son 20(para cuando el primer tiro es 1)+12(para el 2)+6(para el 3)+2(para el 4)+0(para el 5)+0(para el 6) = 40 por lo tanto la probabilidad es de 40/60=2/3.

También puede razonarse diciendo que las posibilidades para el último tiro son tres (mayor, intermedio y menor) que son claramente equiprobables (por cada alternativa de mayor se obtiene otra de menor y otra más de intermedio invirtiendo el orden de las tiradas, es decir, por cada alternativa menor [m], intermedio [i], mayor [M] se obtienen otras dos: m-M-i y i-M-m) y que la suma de estas probabilidades debe ser la unidad. Por lo tanto la probabilidad pedida es 2/3.
Si no ha quedado suficientemente claro se puede hacer por fuerza bruta, pues sólo se trata de 60 posibilidades: 20 para la posición m-i-M, 20 para m-M-i y 20 para i-M-m, desfavorables estas últimas 20, porque en ellas el tercer tiro no es mayor que el primero.

Saludos

Re: tiro al arco

Machine, si me explicas exactamente para qué quieres que te conteste a la pregunta 3 y existe alguna razón justificada pues le dedico un rato. Ya te contesté a las 1 y 2, creo que correctamente, por dos procedimientos cada uno y explicando además mis razonamientos, pero como comprenderás no me voy a estar dedicando a resolver ejercicios sin saber a que conduce el trabajo realizado cada vez que se te ocurra alguno. No me has dicho que conclusiones sacas de mis respuestas. Te he pedido alguna vez que muestres los razonamientos que usas para resolverlos y hasta ahora no lo has hecho, ésta sería una buena ocasión para hacerlo en el ejercicio 3, y revisamos juntos el procedimiento.

3.- Si se lanzan 3 dados en secuencia, ¿cuál es la probabilidad de que, eliminando los empates, si el segundo dado presenta un número mayor que el primero, el tercero también sea mayor que el primero?

La solución es como sigue. Si suponemos que el resultado de cada una de los dados lo representamos por $i,j,k$ respectivamente entonces:

$\forall i\neq j\neq k\qquad\qquad\Pi=\displaystyle{\sum_{i = 1}^6\sum_{j=i+1}^6\sum_{k=1}^6 1}\qquad\qquad\Psi =\displaystyle{\sum_{i = 1}^6\sum_{j=i+1}^6\sum_{k = i+1}^6 1}$

y resulta que la probabilidad pedida viene dada por:

$P=\displaystyle\frac{\Psi}{\Pi}$

Salu2, Jabato.

[Machinegun]

Re: tiro al arco

La tercera puede quedar entre la primera y la segunda. Relee el enunciado.

Perdón, me equivoqué en la descripción. Aquí va la descripción corregida:

En las primeras dos columnas obtienes números aleatorios con la función ALEATORIO en 600 filas (bueno yo lo elegí con 600 por comodidad, pero lo puedes intentar con 6000 o la cantidad de tu preferencia). En la tercera columna pones un condicional para que descarte los casos en que el dato de la segunda sea menor que el de la primera, en la cuarta columna pones otro ALEATORIO y en la quinta un condicional, por ejemplo: "si D > A entonces 1, si no 0". Luego, en la celda E601 colocas un contador de la columna E. El resultado en esta celda va a rondar los 200.

Así tus tiros están representados en las columnas A, B y D. Cuando pones tu condicional D > A significa que D puede ser mayor que A y menor que B o ser también mayor que B. Espero que con estas precisiones haya quedado claro.


Saludos

- - - Actualizado - - -

Jabato, te pedí que me contestaras la pregunta del post anterior, es decir, la 3. Creo que me contestaste un parecida a la pregunta 2.

Saludos

Re: tiro al arco

Hay que descontar el 4. en la segunda tirada, que es un hecho posible, pero como no se pueden tener en cuenta las repeticiones si saliera el 4 en la segunda tirada habría que tirar otra vez, por lo tanto las posibilidades para la segunda tirada son solo 1,2,3,5,6, de las cuales solo son favorables dos, el 5 y el 6. En consecuencia la probabilidad es 2 de 5 o sea 2/5

No hay contradicción ninguna en esta forma de calcular, porque el cuatro en la segunda tirada es un hecho posible pero que contradice las reglas del juego y por lo tanto debe descartarse. El 4 en la primera tirada es un suceso ya acontecido, pero que en ningún caso se considera como suceso en el cálculo de probabilidad. Los únicos sucesos que se consideran son los de la segunda tirada que aún no se ha producido, en ningún caso se consideran los sucesos ya acontecidos.

Salu2, Jabato.

[jogares]

Re: tiro al arco

La tercera puede quedar entre la primera y la segunda. Relee el enunciado.
Saludos

[Machinegun]

Re: tiro al arco

Jabato, no abundaré en el tema de los conceptos porque creo que supernena ya lo aclaró magníficamente. Sólo quiero debatir acerca de la solución del problema planteado:

Un tirador de arco ha lanzado dos flechas y la segunda ha quedado situada peor que la primera. Si lanza una tercera flecha y eliminando la posibilidad de empate ¿Cuál es la probabilidad de que quede también peor que la primera?

perdón que lo repita, pero quiero concretarme en este punto y ya después veremos si nos seguimos con el tema conceptual y demás. Te hice dos preguntas que no sólo me contestaste amable, sino muy correctamente. Ahora te hago una tercera:

3. Si se lanzan 3 dados en secuencia, ¿cuál es la probabilidad de que, eliminando los empates, si el segundo dado presenta un número mayor que el primero, el tercero también sea mayor que el primero?

Sé que es una pregunta un poco más difícil que la 1 y la 2, pero supongo que también la puedes contestar. Yo digo que la respuesta es 2/3, tú dices que necesitas conocer cuál es el razonamiento completo para que me puedas indicar dónde están los errores. Yo te agradezco mucho tu afán didáctico, pero te agradecería más que en lugar de indicarme mis errores, contestaras la pregunta (con desarrollo o sin él). Si supones que hay error en mi razonamiento, deduzco que consideras erróneo el resultado que propongo. Bueno, pues esto se dirime muy fácilmente, sin tanto rollo (para no aburrir al respetable): simplemente dime cuál es el resultado correcto (con eso aprenderé más que con tus insistentes advertencias de que tengo graves errores conceptuales).

Gracias de antemano y saludos

- - - Actualizado - - -

Jogares, hice una simulación con Excel que es muy fácil de replicar: en las primeras dos columnas obtienes números aleatorios con la función ALEATORIO en 600 filas (bueno yo lo elegí con 600 por comodidad, pero lo puedes intentar con 6000 o la cantidad de tu preferencia). En la tercera columna pones un condicional para que descarte los casos en que el dato de la segunda sea menor que el de la primera y en la cuarta columna pones un condicional, por ejemplo: "si C > A entonces 1, si no 0". Luego, en la celda D601 colocas un contador de la columna D. El resultado en esta celda va a rondar cerca de los 200. Aunque más económico que la comprobación empírica es acceder a resultados como éste por medio de la probabilidad apriori.

Saludos

[skynet]

Re: tiro al arco

¿cómo explicas que la segunda tirada influya en la probabilidad de la tercera?.

....porque la tercera tirada tiene que superar a las dos, a la primera y también a la segunda.......si sólo supera a la primera tirada, pero no a la segunda, significaría que la segunda tirada fue mejor que la primera , no se cumplirían las condiciones de la prueba y se descartaría.....esto significa que quedan descartados los casos en los que la tercera tirada es sólo mejor que la primera......pero no se descartan los casos en los que la tercera tirada es sólo mejor que la segunda....es decir se descartan sólo casos favorables a la tercera tirada y eso cambia la probabilidad

Si en el dado normal de 6 caras permites que haya empates la probabilidad del 2º de superar un 4 es 1/3 y la probabilidad del 3º también es 1/3 sin que haya influído para nada el 2º.

porque no se pregunta lo mismo, por supuesto que la probabilidad de superar una cantidad determinada no cambia por muchas veces que tires el dado, pero aquí no se pregunta eso , se pregunta por la probabilidad de superar las dos tiradas anteriores.

[jogares]

Re: tiro al arco

Si esa es tu única duda, considera una dado de un millón de caras, te aseguro que así los empates ya casi no molestarán.

Ahí está la cuestión, porque si se elimina el efecto del empate ¿cómo explicas que la segunda tirada influya en la probabilidad de la tercera?. Si en el dado normal de 6 caras permites que haya empates la probabilidad del 2º de superar un 4 es 1/3 y la probabilidad del 3º también es 1/3 sin que haya influído para nada el 2º. En el dado del millón de caras las probabilidades también serían básicamente iguales entre el 2º y el 3º. Este ejemplo de dados no me sirve para validar la solución de 2/3 pero en alguno de tus explicaciones he leído que has realizado alguna prueba empírica que lo demuestra. ¿Es así?

[skynet]

Re: tiro al arco

Jabato, estarás de acuerdo conmigo en que si tiras 99 flechas sobre una diana y caen aleatoriamente, lo mas probable es que la mejor tirada de las 99 sea muy buena, este muy cerca del centro y por lo tanto sea muy improbable superarla......el que la mejor tirada sea la primera o la que hace 77 es irrelevante...lo cierto es que con tu última tirada tienes que superar a las 99 anteriores y eso es muy improbable.....si no conoces la posición de las 99 primeras tiradas, la probabilidad de conseguirlo es de 1/100 .... ten en cuenta que superar a las 99 anteriores y superar a la mejor de esas 99 es lo mismo, es decir, en tu última tirada no luchas contra una de ellas , luchas contra las 99 anteriores, es decir tu ultimatirada tiene que ser la mejor de las 100 y la probabilidad de que eso suceda es de 1/100

Ademas, te contradices en tus afirmaciones, por ejemplo dices "Los sucesos ya acaecidos nunca influyen en el cálculo de la probabilidad".........sin embargo cuando Machinegun te propone el calculo siguiente respondes:

"2.- Se lanzan 2 dados en secuencia, ¿cuál es la probabilidad de que, eliminando los empates, el segundo dado presente un número mayor que el primero SI SABEMOS QUE EL PRIMERO CAYÓ 4?

La respuesta es que el espacio muestral contiene 5 opciones que son las 5 posibilidades para la segunda tirada (hay que descontar el 4), y que los casos favorables son solo dos, el 5 y el 6, por lo tanto la probabilidad es 2/5."

¿cómo es posible esto? Machinegun te dice que el primer dado cayó (en pasado) 4, ¿no es eso un hecho ya acaecido?.....¿pero no decías que los hechos ya acaecidos nunca influyen en el calculo de la probabilidad?¿no debería de haber sido tu respuesta igual a la que le diste para el primer calculo, es decir 1/2, puesto que él ejercicio solo introduce información sobre un hecho ya acaecido que por lo tanto según indicas debería de ser irrelevante para el calculo? ......reconocerás que tu respuesta a este ejercicio no es consecuente con lo que dices en tus posts

saludos