Otra de enanos (NuezMoscada)

[Machinegun]

En una cueva, siete enanos protegen celosamente un tesoro. El tesoro está detrás de 10 puertas y cada puerta tiene tres cerraduras. Las llaves de todas las cerraduras son todas distintas. Para abrir una puerta se necesita abrir sus tres cerraduras. Cada enano tiene las llaves de algunas de las cerraduras. Además, cualquier grupo de cuatro enanos tienen, entre los cuatro, llaves para abrir todas las cerraduras. Probar que existe un grupo de tres enanos que, entre los tres, tienen las llaves de todas las cerraduras.

[jogares]

Re: Otra de enanos (NuezMoscada)

Son 3*10=30 llaves. De cada llave tiene que haber 4 copias para que en cualquier cuarteto siempre haya 1 persona con copia.Total de copias 30*4=120. Al distribuir estas copias entre 7 al menos 1 persona tendrá 18 llaves diferentes. Faltan 12 para 30. Entre los 6 restantes están las 48 copias de estas 12 llaves. Habrá al menos una segunda persona con 8. Faltan 4 para 30. Entre los 5 restantes están las 16 copias de estas 4 llaves. Habrá al menos una tercera persona con 4.
Saludos

[carroza]

Re: Otra de enanos (NuezMoscada)

De cada llave tiene que haber 4 copias para que en cualquier cuarteto siempre haya 1 persona con copia.

Hola. ¿De donde sale esto? No lo veo claro

Saludos

[jogares]

Re: Otra de enanos (NuezMoscada)

Si solo 3 tienen digamos la llave 1 habrá 4 que no la tienen y este cuarteto no podrá abrir la cerradura con llave 1. Sin embargo si 4 cualesquiera tienen la llave 1, habrá 3 que no la tengan pero todos los posibles cuartetos la tendrán. Esto se aplica a todas las llaves.¿te vale?
Saludos

[carroza]

Re: Otra de enanos (NuezMoscada)

OK. Gracias.

[Machinegun]

Re: Otra de enanos (NuezMoscada)

Son 3*10=30 llaves. De cada llave tiene que haber 4 copias para que en cualquier cuarteto siempre haya 1 persona con copia.Total de copias 30*4=120. Al distribuir estas copias entre 7 al menos 1 persona tendrá 18 llaves diferentes. Faltan 12 para 30. Entre los 6 restantes están las 48 copias de estas 12 llaves. Habrá al menos una segunda persona con 8. Faltan 4 para 30. Entre los 5 restantes están las 16 copias de estas 4 llaves. Habrá al menos una tercera persona con 4.

Elegante e inobjetable demostración.

Saludos