La ruleta

[jogares]

En la ruleta de un casino un jugador utiliza el sistema de jugar únicamente a par/impar y apostar siempre la mitad de las fichas que tiene en cada momento. Si después de cinco apuestas ha perdido 25 fichas ¿Cuántas le quedan?

[Machinegun]

Re: La ruleta

Solución: 

Tal vez existan otras soluciones; no lo sé porque no encontré un razonamiento bonito que me condujera directamente a la solución sino que la obtuve un poco por tanteo apoyado en unas cuantas consideraciones lógicas. A ver si lo entendí bien:

Según yo le quedan 135 fichas, lo cual significa que empezó con 160 fichas, ganó 3 juegos y perdió 2 (no importa el orden), por ejemplo: La primera apuesta de 80 la pierde, la segunda de 40 la pierde, la tercera de 20 la gana la cuarta de 30 la gana y la última de 45 la gana: le quedan entonces 135 fichas.

Saludos

[angel relativamente]

Re: La ruleta

Solución: 

La solución es 135 fichas. Razonamiento:
Suponemos que en las apuestas par/impar duplica su apuesta si gana y pierde todo lo apostado si pierde. Por otro lado suponemos que la banca no se queda nada y las probabilidades de ganar o perder son del 50%. En esas condiciones, llamemos $X$ al número de fichas con las que empieza y $n$ al número de veces que pierde. Si después de 5 apuestas ha perdido 25 fichas y en cada turno apuesta la mitad tenemos

$$X \cdot \left( \dfrac{1}{2} \right)^n \cdot \left( \dfrac{3}{2} \right)^{5-n}=X-25$$

En un primer análisis podemos concluir que para que esa igualdad sea cierta ha de cumplirse que $\dfrac{3^{5-n}}{2^n} <1$ y de ahí obtenemos que $n \geqslant 2$ con un despeje trivial (no es necesario hacer este paso pero no está de más acotar la n a priori antes de hacer ningún despeje). Por otro lado despejando la ecuación en X y operando llegamos a la expresión

$$X=\dfrac{2^5 \cdot 5^2}{32-3^{5-n}}$$

Evaluando para n=2,3,4,5 (se puede hacer sin calculadora) se observa que el denominador solo divide al numerador para n=2 y en ese caso $X=160$ por lo que $X-25=135$ son las fichas que le quedan.

Saludos,

[Machinegun]

Re: La ruleta

Bonito razonamiento, Ángel, entonces ya sabemos que es única nuestra solución, ¿no es cierto?

Saludos

[angel relativamente]

Re: La ruleta

Bonito razonamiento, Ángel, entonces ya sabemos que es única nuestra solución, ¿no es cierto?

Saludos

Pues en principio sí, pues lo comprobamos para todas las posibilidades que nos dan, que por suerte son finitas y pocas
Saludos

[jogares]

Re: La ruleta

La solución de Machinegun y Angelrelativamente es la correcta y además es única. Una forma de explicarlo, menos académica que la de Angel, es:

Solución: 

La cantidad final es la inicial multiplicada por un factor que llamaremos P y que depende del número de veces que pierde sin que importe el orden. Las cinco opciones de P son:
3/2*3/2*3/2*3/2*1/2 = 81/32
3/2*3/2*3/2*1/2*1/2 = 27/32
3/2*3/2*1/2*1/2*1/2 = 9/32
3/2*1/2*1/2*1/2*1/2 = 3/32
1/2*1/2*1/2*1/2*1/2 = 1/32
Llamando F al número de fichas inicial F*P=F-25 de donde F=25/(1-P). F tiene que ser un número entero y la única opción de P que cumple es la de 27/32. Se deduce que F es 160 y por tanto le quedan 135.

Saludos

[Richard R Richard]

Re: La ruleta

Solución: 

Sea ${C}$ la cantidad inicial ,
$X$ la cantidad buscada luego se 5 apuestas
${C}_{n }$ la cantidad de fichas en mano luego de $n$ apuestas

Cada vez que gana sus fichas aumentan en un 50% osea ${C}_{n-1 }= \frac 3 2 {C}_{n }$
Cada vez que pierde sus fichas bajan a un 50% osea ${C}_{n-1 }=\frac 1 2 {C}_{n }$

Sea $i$ la cantidad de veces que gano en los 5 intentos.

deben darse las siguientes 2 ecuaciones

1) $C - X = 25$

2) $X = C (\frac{3}{2 })^i (\frac{1}{2 })^{5-i}$

igualando las $X$ tenemos $C - 25 = C (\frac{3}{2 })^i (\frac{1}{2 })^{5-i}$

la unica $i$ entre 0 y 5 que hace numero entero a $C$ es $i = 3$ con ello sale $C= 160$

y de 1) $X = C -25 = 135$

que es la respuesta buscada.

[jogares]

Re: La ruleta

Richard R Richard, la forma de ocultar la solución la tienes en el mensaje de Pod incluído en el hilo Solución oculta del 26/01/2015.
Saludos

[Richard R Richard]

Re: La ruleta

Probe varias veces para que me funcione pero ya anduvo Gracias