Divulgación El cero a la izquierda, hace a la diferencia

[Richard R Richard]

Hola a todos....

Me divierto bastante resolviendo los enigmas de esta seccion mientras espero colaboración en otros hilos del foro y quiero devolver gentilezas.

Habia decidido incluirlo en la seccion clubes , pero no se como crear una discusion alli, asi que lo hago aqui.

Siempre se ha dicho que el 0 a la izquierda de un numero no hace a la diferencia...

De todos los numeros que se pueden formar con N cifras, algunos de ellos son capicuas (se leen igual de izquierda a derecha que de derecha a izquierda)

Cuantos de ellos dejariamos de tener, si quitamos todos los 0 a la izquierda...

[angel relativamente]

Re: El cero a la izquierda, hace a la diferencia

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He llegado a lo siguiente
-Si N es par, perderíamos $n=10^{\dfrac{N-2}{2}}$
-Si N es impar, perderíamos $n=10^{\dfrac{N-1}{2}}$

Lo he intentado formalizar de la siguiente manera. Supongamos N par. Buscamos un capicúa de N cifras con la condición de que tenga al menos un cero a la izquierda. Como la primera y la última cifra es 0 necesariamente, los números buscados serán los capicúa de N-2 cifras (incluyendo el 0). Es decir, aquellos de la forma $x_1 x_2 \cdots x_{N-2}$ bajo la condición $x_1=x_{N-2}, \; x_2=x_{N-3}, \; \cdots$. En total tendríamos $\dfrac{N-2}{2}$ condiciones sobre los elementos $x_i$, donde $x_i \in \{ 0, \cdots , 9\}$ por lo que habría $10^{\dfrac{N-2}{2}}$ posibilidades.
El mismo razonamiento para los impares teniendo en cuenta que tienen un elemento central demostraría el resultado.

Lo he hecho un poco rápido así que puedo haber obviado algún elemento básico y haberme lanzado por donde no era.
Saludos,

[Richard R Richard]

Re: El cero a la izquierda, hace a la diferencia

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Pierdes o ganas? hay trampa.
que pasa con los capicuas de N-1 ocultos tras un cero a la izquierda y los de N-2......implicitamente al quitar el cero ya no solamente tienes los capicuas de N cifras, entonces como queda

[Machinegun]

Re: El cero a la izquierda, hace a la diferencia

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Tal vez algo no me ha quedado claro, pero francamente no veo cómo pueda esconderse un capicúa de N-1 detrás del cero de uno de N cifras, por lo tanto, estoy de acuerdo con Ángel.

Saludos

[jogares]

Re: El cero a la izquierda, hace a la diferencia

Si lo he entendido bien

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Si N es impar lo que sale por lo que entra y ni se pierde ni se gana. Si N es par entra más de lo que sale y la ganancia es 10^N/2-10^(N/2-1)

Saludos

[Richard R Richard]

Re: El cero a la izquierda, hace a la diferencia

Talvez no lo redacte igual a como lo lei hace tiempo,

supongan N=7 de tal manera a modo de ejemplo tenemos 0042524 que no es capicua, pero luego al quitar los 0 a la izquierda tenemos un capicua de N-2 , si bien pierdes los capicuas terminados en 0 , aparecen unos nuevos a compensar la perdida, el tema es si son mas, menos o lo mismo...

[jogares]

Re: El cero a la izquierda, hace a la diferencia

A ver así

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El saldo positivo es 999.Aplicando el criterio de mi mensaje anterior si N=7 como es impar al quitar un cero pierde y gana lo mismo 10^(7-1)/2. Ahora quedan 6 que es par y al quitar un cero pierde 10^(6/2-1)=10^2 y gana 10^6/2=10^3. Ahora 5 es impar y lo que pierde es igual a lo que gana…etc. El saldo será: 10^3-10^2+10^2-10+10-1=10^3-1=999.
El caso general sería si N par (10^N/2)-1 y si N impar (10^(N-1)/2)-1

Saludos

[Machinegun]

Re: El cero a la izquierda, hace a la diferencia

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A ver si lo entendí: Ángel calculó los capicúas que se pierden (que son el 10% de los capicúas “originales”), pero le faltó calcular los que se ganan. A mí me resulta que siempre se ganan más de los que se pierden. En el caso de los números de 7 cifras, por ejemplo, tendríamos 10000 capicúas "originales", mientras que si eliminamos los ceros a la izquierda tendríamos 10998, casi un 10% más. En general, para los nones, se gana casi el doble de lo que se pierde y para los pares, se gana casi 10 veces lo que se pierde; esto es tanto más así cuanto más cifras tenga el número. Confieso que no entendí la explicación de Jogares y creo que la fórmula general debe incluir una sumatoria, pero como no sé si voy por buen camino, tal vez no sea conveniente invertir tiempo buscándola.

Saludos

[Richard R Richard]

Re: El cero a la izquierda, hace a la diferencia

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Los dos van bien Machinegun el razonamiento tuyo esta perfecto, el de angel esta cerca o es lo mismo dicho de otra manera.

Para N(pares) hay $1 X10^{\frac N 2}$ capicuas al quitar los 0 pierdes el 10% $1 X10^{{\frac N 2}-1}$ o [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] y a la vez ganas, lo que ganas si es una sumatoria que siempre da $1.1 X10^{\frac N 2} - 2$

Cuando es N(impar) hay $1 X10^{\frac{N+1} {2}}$ capicuas al quitar los 0 pierdes $1 X10^{\frac {N-1} {2}}$ y la sumatoria de lo que ganas siempre da $2 X10^{\frac {N-2} {2}} -2$

en definitiva cuando N aumenta los nuevos capicuas engrosan la sumatoria de los N+1 siguientes y siempre ganas.

la principal duda que tuve cuando lo resolví es como tratar al 0 o mas bien todos los 00000000....0 que me aparecian , como tambien los numeros del 1 al 9 que si son capicuas por la defincion que di.

[jogares]

Re: El cero a la izquierda, hace a la diferencia

Siento disentir con Richard R Richard sobre sus conclusiones. Cuando un número son todo 0 no se puede contabilizar el resultado de quitar todos los 0 como pérdida de un capicúa porque el último 0 no es un 0 "a la izquierda". Asi resulta que, por ejemplo, con N=4, los capicúas que se pierden son 9 en lugar de los 10 que resultan de aplicar las fórmulas de Richard, los que se ganan son 108 y el saldo positivo es 99. Algo similar ocurre con N impar. A no ser que tenga un error de base en la interpretación del planteamiento del problema, creo que son válidas las fórmulas que he propuesto para obtener directamente el saldo positivo de capicúas si N par (10^N/2)-1 y si N impar (10^(N-1)/2)-1 como se puede ver en estos ejemplos:
N=1 no aplica porque no puede haber cero a la izquierda
N=2 pierde 0 gana 9 saldo 9
N=3 pierde9 gana 18 saldo 9
N=4 pierde9 gana 108 saldo 99
N=5 pierde99 gana 198 saldo 99
N=6 pierde99 gana 1098 saldo 999
N=7 pierde 999 gana 1998 saldo 999
Saludos

[Richard R Richard]

Re: El cero a la izquierda, hace a la diferencia

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Jogares con N= 3 pierdes los capicuas 000,010,020,030,040,050,060,070,080 y 090 de alli la diferencia de 1 con tus resultados ademas los numeros del 1 al 9 son capicua segun a definicion de problema (tienes razon el ultimo 0 no esta a la izquierda de nada), pero el resultado que me dieron era la sumatoria -2, probablemente el enunciado no sea esactamente igual al que me dieron ya hace años.

en N=1 tengo 10 pierdo 1 gano 0 saldo 9 ( aqui puede estar la diferencia con vos si es que el 0 no lo eliminas) diferencia +1 o 0 para vos y luego arrastras el saldo
N=2 tengo 10 pierde 1 gana 9 saldo 18 diferencia +8
N=3 tengo 100 pierde 10 gana 18 saldo 108 diferencia +8
N=4 tengo 100 pierde 10 gana 108 saldo 198 diferencia +98
N=5 tengo 1000 pierde 100 gana 198 saldo 1098 diferencia +98
N=6 tengo 1000 pierde 100 gana 1098 saldo 1998 diferencia +998
N=7 tengo 10000 pierde 1000 gana 1998 saldo 10998 diferencia +998


Saludos

[jogares]

Re: El cero a la izquierda, hace a la diferencia

Richard R Richard. Coincidimos en que la diferencia está en la consideración del último 0. En el ejemplo que mencionas de N=3 dices que se pierden 10 capicúas porque se incluye el 000 y según mi criterio se pierden 9 porque para perder el 000 tendrías que quitar el “último 0 de la derecha” que, a mi juicio, contradice lo solicitado en el enunciado “Cuantos de ellos dejariamos de tener, si quitamos todos los 0 a la izquierda...”Es posible como dices que el enunciado original fuera diferente o que mi criterio sea demasiado estricto, en cualquier caso me ha parecido un problema interesante.
Saludos