Divulgación Flores y jarrones

[angel relativamente]

Este acertijo se me ha ocurrido esta tarde y lo he estado puliendo durante el día. Espero que os guste

Tenemos unos jarrones con flores. Tanto los jarrones como las flores solo pueden ser de 3 colores: rojo, amarillo y blanco. Se pide determinar el número de jarrones con sus respectivos colores y el número de flores de cada jarrón con sus respectivos colores. Sabemos que:

1- Un jarrón no puede tener más de 3 flores del mismo color
2- Hay el doble de flores amarillas que de flores rojas
3- Hay jarrones de todos los colores
4- Hay al menos un jarrón amarillo que tiene 4 flores
5- Hay el doble de flores que de jarrones
6- Si un jarrón es rojo entonces tiene 2 flores del mismo color
7- Todos los jarrones tienen alguna flor de su color
8- La mitad de las flores están en un único jarrón

Suerte

PD: Como ejercicio extra os propongo demostrar la unicidad en el número de jarrones

[Niaar]

Re: Flores y jarrones

Ocultar contenido

Mostrar solución Ocultar solución

Yo diría, a ver si esta bien: (J=jarrón, F=flor, a=amarillo, r=rojo, b=blanco)

Ja: Fa, Fa, Fa, Fb

Jr: Fr, Fr

Jb: Fb

Ja: Fa

Y cumplir, así, todos los requisitos que el acertijo propone

Enhorabuena por el problema, me ha dado que pensar, muchas gracias!!jaja
Saludos
PD: No acabo de entender muy bien a lo que te refieres en la postdata

[angel relativamente]

Re: Flores y jarrones

Esa es la respuesta correcta Niaar muy bien

Ocultar contenido

Mostrar solución Ocultar solución

Lo que propongo en la PD es demostrar que solo tiene solución para 4 jarrones. Claramente con 4 jarrones se cumple como has enseñado , ¿pero cómo sabes que no lo hace también para 22 jarrones? ¿o para 105?

[Machinegun]

Re: Flores y jarrones

Ocultar contenido

Mostrar solución Ocultar solución

Tal vez algo se me pasó, pero creo que no hay una solución única, porque yo encontré al menos una distinta a la de Niaar:

Ja: 3Fa 2Fb
Jr: 2Fr
Ja: 1Fa
Jb: 1Fb
Jb: 1Fb

Creo que no se infringe ninguna regla, pero a lo mejor sí.

Saludos

[Niaar]

Re: Flores y jarrones

Así a simple vista, creo que la de:

4- Hay al menos un jarrón amarillo que tiene 4 flores

La verdad es que yo, una vez resuelto, tampoco me puse a buscar diferentes opciones. Pero creo que sí hay una sola.

Ocultar contenido

Mostrar solución Ocultar solución

Sobre la unicidad de los jarrones:

No puede haber 3 jarrones, ya que las premisas de que hay uno de cada color (Ja, Jr y Jb), que el numero de flores es siempre el doble que el de jarrones (6F) y que la mitad de las flores están en un único jarrón (3F en un jarrón y el resto en los jarrones sobrantes, cuando dice que hay al menos un jarrón amarillo que contiene 4F) son incompatibles.
A partir de los 5 jarrones: El color del jarrón (que sabemos que va a tener 2F) importa. Para comenzar tendríamos que añadir una flor al primer jarrón para cumplir el requisito de que la mitad de las flores están en un único jarrón, rompiendo así la regla de que hay al menos 1J con 4F El jarrón no puede ser rojo, porque tendríamos que ponerle directamente dos flores rojas y arriesgarnos a no cumplir la regla de que hay el doble de Fa que Fr. Al poner un Jb, (con 2F) habría que volver a añadir flores al Ja y no cumplir, de nuevo, la premisa de que hay al menos un jarrón amarillo con 4F.

(siento haber escrito tanto para decir tan poco...)

En resumen, lo que pasa cuando añades jarrones es que se van incumpliendo reglas (olé tu por acertijo jaja), y 4J es el único numero donde todas estas se cumplen. Flicidades de nuevo Ángel

Saludos:')

[angel relativamente]

Re: Flores y jarrones

Para machinegum, en efecto es la que te han dicho. A lo mejor has confundido "hay al menos un jarrón amarillo que tiene (exactamente) 4 flores" con "hay un jarrón amarillo que tiene (al menos) 4 flores".


Para Niaar:

Ocultar contenido

Mostrar solución Ocultar solución

Muy bien Niaar, te propongo si quieres una forma más corta y clara para la unicidad. Sea n el número de jarrones. Para $n=3$ es obvio que no se da. Supongamos $n\geqslant 5$, y vamos a calcular el número mínimo que habrá de flores. Tenemos necesariamente un jarrón amarillo con 4 flores, un jarrón cualquiera con n flores (este podría ser rojo y ser el único de ese color), y luego tendríamos n-2 jarrones restantes que como mínimo tendrán 1 flor de su color. Pero en tal caso el número de flores es $N_f=4+n+(n-2)=2n+2$. Por otro lado como hay n jarrones habrá 2n flores y llegamos al absurdo $2n+2\leqslant 2n$

[Richard R Richard]

Re: Flores y jarrones

como siempre intento resolver sin ayuda

Ocultar contenido

Mostrar solución Ocultar solución

habia encontrado varias soluciones con varios numeros de jarrones, permitiendome mas flores en el jarron amarillo

pero lei

Para machinegum, en efecto es la que te han dicho. A lo mejor has confundido "hay al menos un jarrón amarillo que tiene (exactamente) 4 flores" con "hay un jarrón amarillo que tiene (al menos) 4 flores".

y si se interpreta exatamente 4 flores hay una "unica" solucion

Jarron amarillo con 3 flores amarillas y una blanca
jarron rojo con dos flores rojas
jarron blanco con una blanca
jarron amarillo con una amarilla

la unicidad se da pues el jarron que tiene la mitad de las flores tendria que tener al menos 4 flores del amarillo 2 del rojo + (esta flores + mas las propias) ya necesitan 6 por estos 3 extras nececitan 3 flores y a lmenos 2 jarrones mas y ya excedo las nueve flores por jarron. lo mismo sucede aunque las pongas en el rojo


si en el amarillo se pueden poner mas de 4 entonces hay varias soluciones