La bola marcada

[jogares]

En una caja hay 9 bolas rojas, 10 negras y 11 blancas. Se van sacando bolas al azar hasta que en la caja solo queda una o varias bolas del mismo color. Una de las bolas blancas está marcada con una x ¿Qué probabilidad tiene la marcada de quedar en la caja?

[Richard R Richard]

Re: La bola marcada

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Pense a priori que iba a obtener en una probalidad mayor , pero mi metodo da 1,92195E-08

[jogares]

Re: La bola marcada

Richard R Richard, es bastante mayor

[carroza]

Re: La bola marcada

Hola. Voy a poner un rollito previo para que no aparezca la respuesta en el flujo de actividad (alargo el rollito para que no aparezca esta linea, y para rogar a Pod que encuentre una forma habil de que la solucion no aparezca en el flujo de actividad). La respuesta, sorprendentemente simple es:

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5%

[Richard R Richard]

Re: La bola marcada

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Yo no estoy tan seguro de que sea muy simple, aunque cuando presente el resultado presumia debia sermayor
mi planteo de todas las soluciones posibles a mi favor es ,
que salieran las 19 bolas negras y rojas y te quedaron las 11 blancas en ese caso estas seguro que la marcada esta en la caja
luego otra posibilidad es salen primero 20 bolas y que las ultimas 10 sean blancas en este caso aparte tienes 10/11 de que se halle la marcada
y asi
21 con 9 y 9/11
22 con 8 y 8/11

29 con 1 y 1/11

en cada caso la probabilidad de que queden ese numero de bolas blancas es una probabilidad hipergeometrica de N=30 n=11 x=d=cantidad de bolas del mismo color en la muestra de mismo tamaño.

$P(x) = \dst\dfrac{\begin{pmatrix}d \\x\end{pmatrix}\begin{pmatrix}N-d \\n-x\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}N \\n\end{pmatrix}}$

con $\begin{pmatrix}a \\b\end{pmatrix}= \dst\dfrac{a!}{b!\cdot(a-b)!}$

Calcule todos los combinatorios con el excel asi que me puede haber dado cualquier cosa, asi encontre errores en el calculo de los combinatorios (que eran cualquier cosa) y me acerco, tengo 0,073809524

mas simple no lo veo

saludos

[Machinegun]

Re: La bola marcada

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A mí me resulta 10.48%, pero no estoy muy seguro de que sea lo correcto

Saludos

[carroza]

Re: La bola marcada

Hola.

A la espera de que Jogares de el veredicto, me permito plantear la siguiente variante del problema:

En una caja hay 9 bolas rojas, 10 negras y 11 blancas. Se van sacando bolas al azar hasta que en la caja solo queda una o varias bolas del mismo color. Una de las bolas se ha marcado al azar con una x ¿Qué probabilidad tiene la marcada de quedar en la caja?

Una sugerencia a Richard

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Cuando haces la cuenta de la probabilidad de que te queden 10, 9, 8 ... bolas blancas al final, para que estos casos sean excluyentes con el caso de 11 bolas blancas al final, debes tener en cuenta que han de ser, respectivamente, 1 no blanca y 10 blancas, 1 no blanca y 9 blancas, 1 no blanda y 8 blancas, ..... Esto te modifica los números combinatorios.

Saludos

[jogares]

Re: La bola marcada

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El número y la secuencia de salida de las bolas blancas sin marca no influye para nada. Lo importante es que las 19 bolas de color salgan antes de la marcada porque a partir de este momento ya no se sacan más. Hay 20 casos posibles de posicionar la marcada entre las de color (al principio, al final, intercalada entre las 19) y uno favorable (al final) por lo que la probabilidad es 1/20=5%, como muy bien ha dicho Carroza.

Saludos

[carroza]

Re: La bola marcada

Hola.

Que conste que yo primero obtuve la solución a pelo,

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es decir, calculando la probabilidad de tener 11 bolas blancas al final, una coloreada y 10 blancas, una coloreada y 9 blancas, etc. Las multipliqué por la probabilidad de encontrar, en casa caso, la marcada entre las blancas, y las sumé.

A la vista del resultado tan simple que salía, me imaginé el argumento que acaba de decir jogares.

Saludos

[jogares]

Re: La bola marcada

Variante de carroza

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Siguiendo el criterio del acertijo base me sale 1/22*9/30+1/21*10/30+1/20*11/30=4.78%

Saludos

[Richard R Richard]

Re: La bola marcada

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agrego el rollito para que el rollito me sirva de espacio para que no se vea lo que quiero decir en la primera linea

para carroza

es decir, calculando la probabilidad de tener 11 bolas blancas al final, una coloreada y 10 blancas, una coloreada y 9 blancas, etc. Las multipliqué por la probabilidad de encontrar, en casa caso, la marcada entre las blancas, y las sumé.

te sigo la logica, pero en el caso de la salida de las bolas coloreadas debe darse antes que primera de las blancas que queden no es una combinacion, por eso tome el limite en que los aciertos son iguales a la cantidad de la muestra, en la probabalilidad hipergeometrica, que creo que es la aplicable, luego "Las multipliqué por la probabilidad de encontrar, en casa caso, la marcada entre las blancas, y las sumé."

Cuando haces la cuenta de la probabilidad de que te queden 10, 9, 8 ... bolas blancas al final, para que estos casos sean excluyentes con el caso de 11 bolas blancas al final, debes tener en cuenta que han de ser, respectivamente, 1 no blanca y 10 blancas, 1 no blanca y 9 blancas, 1 no blanda y 8 blancas, ..... Esto te modifica los números combinatorios.

En esta no te sigo la linea, al decir no blanca la consideras igual a las coloreadas? en ese caso restarias 1 a la poblacion pero en el resultado abarcaria el evento que una bola roja o negra reemplace a la marcada.

El número y la secuencia de salida de las bolas blancas sin marca no influye para nada. Lo importante es que las 19 bolas de color salgan antes de la marcada porque a partir de este momento ya no se sacan más. Hay 20 casos posibles de posicionar la marcada entre las de color (al principio, al final, intercalada entre las 19) y uno favorable (al final) por lo que la probabilidad es 1/20=5%, como muy bien ha dicho Carroza.

Creo que esta es la probabilidad de que la bola marcada este entre las blancas dado que ya sabes que las ultimas son blancas, tambien cabe la posibilidad de que la ultima o ultimas sean de otro color, tu lo dices lo importante es.... Pero dejas de lado la posibilidad de que la ultima sea de otro color en ese caso no importa donde se halla la marcada y tambien es una posibilidad en contra.Pues "solo queda una o varias bolas del mismo color" para mi es cualquier color no solo el blanco, que obviamente este sera el unico que pueda dar resultados positivos.

si este resultado de 5% es correcto lo que calcule yo deberia ser inferior a este porcentaje, asi que revisare, pero no se que tanto estoy errado.

en tu variante siempre el resultado positivo va a darse cuando se termine con el mismo color de la bola marcada como no lo sabes a priori debes sumar cada porcentaje de poblacion de un color por la misma probabilidad que hemos calculado ( en caso del blanco) pero en cada caso para el color que corresponda.

P=9/30. P(R)+10/30.P(N)+11/30.P(B)=9/30 .0,061264822 + 10/30 . 0,067099567 + 11/30 .0,073809524= 0,067809461




Saludos

[Machinegun]

Re: La bola marcada

Tal vez una forma sencilla de verlo claro sea cambiando el problema por uno mucho más sencillo. Digamos que son 3 bolas, 1 negra y 2 blancas (una de las blancas marcada). Según la explicación de Jogares, la probabilidad de que la marcada quede en la urna sería de 1/2, lo cual se prueba muy fácilmente: la probabilidad de que la primera bola extraída sea la negra es 1/3, que es caso favorable. La probabilidad de que la primera bola sea la marcada también es 1/3, que es caso desfavorable. Y la probabilidad de que la primera bola sea la blanca no marcada también es 1/3, que nos deja ante dos casos igualmente posibles: uno favorable y otro desfavorable. Por lo tanto se cumple la regla de Jogares. Con un poco más de cálculos se puede verificar para casos más complicados. Yo lo probé con 2 bolas de un color, 3 de otro y 4 blancas (una marcada) y efectivamente nos da 1/6. Es un problema sorprendente en el que un razonamiento lógico (como el que nos obsequia Jogares) nos ahorra cálculos engorrosos.

Saludos

[Richard R Richard]

Re: La bola marcada

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vuelvo a agregar el rollito para que el rollito me sirva de espacio para que no se vea lo que quiero decir en la primera linea

hice la minima de machinegun luego con una mas negra, y luego con una masa blanca etc

En efecto si agregas una blanca la probabilidad no se altera pues tienes la misma posiblididad que este delante que detras de la marcada
si agregas una de color la probabilidad cambia a
$P(n)=\dst\dfrac 1{n+1}$
donde n es el numero de bolas de color . increible pero cierto , asi que para el caso n=19
$P(19)=$$\dst\dfrac 1{20}=5$%

Mas vale avivarse tarde que nunca



para el de Carroza

$P=$$\dst\dfrac 1{30}( \dfrac 9{30-9+1}+ \dfrac {10}{30-10+1}+ \dfrac{ 11}{30-11+1})=0,04784271284271284271284271284271$

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

[carroza]

Re: La bola marcada

Hola.

Obviamente, correcto el valor de Jogares y Richard para la variante.

Una curiosidad: Jogares, te inventas todos estos acertijos, o tienes algun libro no conocido de Martin Gardner?

Saludos

[jogares]

Re: La bola marcada

Inventar inventar es mucho decir. En gran manera las ideas para elaborarlos están inspiradas en ideas de otros que he ido captando y adaptando para darles un toque personal. Concretamente este último lo tenía elaborado desde hace tiempo y no te puedo precisar la fuente de inspiración porque no me acuerdo.
Saludos