Mesa giratoria

[jogares]

Un grupo de n amigos van a cenar a un restaurante oriental. Se sienta en una mesa redonda de las que tienen la parte central giratoria y un camarero coloca n platos diferentes en la parte central. Cada comensal tiene un plato preferido pero se da la circunstancia de que en ninguno de ellos coincide su posición con su plato preferido. Explicar por qué ocurre necesariamente que dando un determinado giro a la mesa, como mínimo dos de los comensales tienen que coincidir con su preferencia.

[Richard R Richard]

Re: Mesa giratoria

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Hola jogares, pongo el rollito, para que no se lea el resultado, aunque en este caso solo quiero quitarme una duda, pues creo que
no entiendo el enunciado, o algo me pierdo, o hay alguna situacion en que no se cumple.
Por ej en n=4 numero las posiciones 1,2,3y4 y a su correpondiente gusto a,b,c y d , osea seria solucion una coincidencia de 1-a,2-b,3-c o 4-d
supongamos que la mesa fue servida de manera que
1-b, 2-c,3-d,4-a si hago medio giro tengo 2-a,3-b,4-c y 1-d y no tendria correspondencia de 2 por ello te pregunto que es lo que no entiendo del enunciado no siempre se cumple. o lo que quiere decir que en alguna posicion de giro encontraremos al menos dos coincidencias ,siempre para cada n, y no solo una que seria la solucion trivial, y ene ste caso coincide con con solo un cuarto de giro hago en el que hago coincidir las 4 pocisiones y gustos.

Saludos

[jogares]

Re: Mesa giratoria

Richard R Richard, en el enunciado se pide demostrar que “dando un determinado giro” coinciden al menos 2. En tu ejemplo este giro será 1 posición a la derecha.
Saludos

[Richard R Richard]

Re: Mesa giratoria

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Aqui viene el rollito que es mas problematico que los rollitos de mi panza, pero aunque menos extensos,
en n=3 si a,b,c es el orden de los comensales y repartes la comida en orden 213 no hay giro posible para que dos tengan su plato a la vez
si la solucion en gustos es a=1 b=2 c=3 cuando partes de a=1, b=3, c=2 gires como gires solo uno tiene su plato a la vez, si no es asi no entiendo el problema, saludos

[Machinegun]

Re: Mesa giratoria

Richard, si entiendo bien, el planteamiento dice que, habiendo un orden en el que ningún platillo se ubica frente al comensal que lo desea, no hay manera de que, girando el centro de la mesa, pueda ocurrir que sólo un platillo quede ubicado frente a la persona correcta, sino que lo mínimo serán dos platillos. En el caso de n = 3 que expones, no partes de alguna posición en que ninguno coincida con su plato, es decir, las posiciones 231 y 312. De no ser como lo interpreto, entonces yo tampoco lo he entendido.
Saludos

[Richard R Richard]

Re: Mesa giratoria

no partes de alguna posición en que ninguno coincida con su plato

si bien lo habia leido , pase de largo esa definicion por lo que lo que puse en mi post #3 es incorrecto . entonces solo las 123 231 312 son posibles y evidentemete con un giro deja a los comensales en posicion, asi que dicho esto me pongo a ver si puedo dar una solucion en ves de criticar

- - - Actualizado - - -

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le he dado vueltas al tema, inluso he consultado con mi almohada y me contesto que no es tan dficil demostrarlo, ni tampoco tan extenso como este rollito...

Si numeramos las posiciones de los gustos de los comensales de 1 a n como $x_i , \forall i \in \mathbb{N} \to 1\leqslant i \leqslant n$
del mismo modo a las mesas servidas de 1 a n como $y_i , \forall i \in \mathbb{N} \to 1\leqslant i \leqslant n$
la condicion inicial que $x_i\neq\ y_i \text( , )\forall i \in \mathbb{N} \to 1\leqslant i \leqslant n$
implica que $\exists z_i \forall i \in \mathbb{Z} \to -n+1\leqslant i \leqslant n-1$ tales que $x_i-y_i=z_i\text( ,con )z_i\neq 0$ y sabiendo que si
escribiendo las mismas ecuaciones luego de un giro
Tendremos $x_i-y_j=z_k \forall i,j,k \in \mathbb{N} \to 1\leqslant i \leqslant n$
Reordenando tenemos
$x_i-y_j-z_k=0 \forall i,j,k \in \mathbb{N} \to 1\leqslant i \leqslant n$
$x_i-y_i\leqslant 0 \Rightarrow 0\leqslant x_i-y_i+ n \leqslant 2n$ con ello sabemos que sol hay n valores utiles entre los 2n posible de cada giro
a la vez que son 3n ecuaciones que como el resultado de ellas es 0 en todos los casos resultan ser linealmente dependientes
Esto implica que cuando algun z_i sea 0 y hallemos una coincidencia de gusto y comensal inevitablemente $\exists z_j =0$ dandose otra coincidencia

lo que prueba el enunciado en que las coincidencias se daran al menos de a pares

[carroza]

Re: Mesa giratoria

Hola.

El consabido rollito previo para que no aparezca la solucion en flujo de actividad. Ahora vamos al grano.

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Hay n comensales, y hay n posiciones de la mesa rotando.

Si giramos la mesa con las n posiciones posibles, cada comensal habrá tenido su plato preferido enfrente exactamente una vez. Puede ocurrir que, en cada posición, solamente un comensal tenga su plato favorito enfrente, pero eso solo ocurre si en las n posiciones, hay un, y solo un, comensal con su plato.

En el enunciado nos dicen que en la posicion inicial ningun comensal tiene su plato favorito enfrente. Entonces, necesariamente, tiene que haber otra posicion en la que, al menos, dos comensales tengas su plato enfrente.

Por ponerlo de otra forma, la suma de los números comensales con su plato favorito enfrente, para todas las posibles posiciones, es n (cada comensal tiene su plato favorito enfrente una vez). Por tanto, la suma de n numeros es igual a n.

Si uno de esos numeros es cero, entonces otro de esos numeros debe ser 2 o mayor.

Saludos

[jogares]

Re: Mesa giratoria

Me parecen correctas las demostraciones de Richard y carroza. Una forma de visualizarlo es aplicar el principio del palomar

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Los palomares son las posiciones, en un mismo sentido de giro, que separan a cada comensal de su plato preferido. El máximo número de posiciones que le separan es n-1 y por tanto el máximo número de palomares es n-1. Como los comensales (palomas) son n habrá al menos dos palomas en un mismo palomar. En consecuencia al girar la mesa este número de posiciones coinciden al menos dos con su plato

Saludos