Rectángulo con lado primo

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Hola a todos. Es la primera vez que participo en este foro en busca de
ayuda respecto a un problema cuya formulación es elemental pero que
permite abrir una discusión. Todo corresponde a naturales y es lo
siguiente.

Un rectángulo tiene un perímetro de longitud conocida igual a 4 N y un
lado cuya longitud es igual a un primo P .

1. Expresada en función de P el área del rectángulo corresponde a un
polinimio de segundo grado. Escríbalo.

2. Resuelva la ecuación de segundo grado y despeje P .

3. Compruebe que la suma de las dos soluciones es igual al semiperímetro
2 N .

4. Discuta lo siguiente. ¿ Implica el desarrollo anterior que siempre hay una
forma de expresar al semiperímetro como suma de dos primos, que son
las dos soluciones de la ecuación cuadrática ? Supongamos que
dudamos y opinamos que no siempre hay una forma. ¿ Equivale eso a
cuestionar la validez del método general de resolución de las
ecuaciones cuadráticas ?

5. Opine respecto a la posibilidad de vincular la discusión anterior con la
conjetura de Goldbach.

Agradeceré las opiniones y espero que sirva también para brindaros un
rato de entretenimiento.

Un saludo para todos.

[^Cuervo^]

Re: Rectángulo con lado primo

Empezando por el final, cierto es que dado que el semiperímetro es 2N, si siempre pudieramos expresarlo como suma de dos lados primos adyacentes del rectángulo, eso demostraría la conjetura de Golbach.
Ahora bien supongamos que el perímetro de un rectangulo mide 4N, entonces el semiperímetro mide en efecto 2N, por lo que si un lado mide P el lado adyacente medirá 2N-P y el area del rectangulo en función de P será
A=P*(2*N-P)=2*P*N-P^2.
Entonces podemos escribir que
P^2-2*P*N+A=0
Las soluciones de esa ecuación seran
P=N+(N^2-A)^(1/2) y P=N-(N^2-A)^(1/2)
Cuya suma es efectivamente 2N.
Pero cuidado, en ese desarrollo, el area A depende además de N del número primo P escogido, y a su vez las soluciones para P de la ecuación cuadrática dependen a su vez además de N del area A, que a su vez depende como antes dijimos del P escogido con anterioridad.
Veamos un ejemplo de lo que quiero decir:
Supongamos N=4 con lo que el perímetro vale 16 , luego el semiperímetro valdrá 8. Si escogemos P=2 tendremos que A=2*(8-2)=2*6=12 y entonces la ecuación cuadrática tendrá por soluciones:
P=4+(16-12)^(1/2)=6 y P=4-(16-12)^(1/2)=2
Cuya suma es efectivamente igual a 8 que es el valor del semiperímetro, pero el lado adyacente a P en este caso resulta valer 6 y por lo tanto no ser primo.
Si por el contrario escogemos P=3 veremos que A=3*(8-3)=3*5=15 y las soluciones de la ecuación cuadrática seran efectivamente 3 y 5 ambos primos.
Entonces, el planteamiento de esa ecuación cuadrática no implica necesariamente que el lado adyacente a P deba ser primo, luego no demuestra para nada la conjetura de Golbach.
Lo que sí sería cierto es que para N>=2 la demostración de la conjetura de Golbach si implicaría que el semiperimetro 2N siempre podría expresarse como la suma de dos lados primos adyacentes.....
O eso me parece a mi.....

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Re: Rectángulo con lado primo

Estimado Cuervo:
Ante todo gracias por interesarte en el tema, cuyas
dificultades señalaste y ejemplificaste con claridad. Creo que lo esencial
es discutir el detalle siguiente. Sabemos que existen soluciones que no
corresponden a los dos lados simultáneamente primos. Pero a la conjetura
de Goldbach le basta la existencia de al menos una que tenga los dos
lados simultáneamente primos. Por eso necesitamos responder la pregunta
siguiente. ¿Existe al menos una en todos los casos? ¿Hay algo en el
desarrollo que hiciste y expusiste que obligue a la existencia de al menos
una en todos los casos? Por eso el quinto punto de la propuesta inicial del
hilo sugiere meditar sobre la obligación de existir al menos una, para no
llegar al absurdo de dudar del método que resuelve a la cuadrática. ¿ Se
produciría efectivamente ese absurdo si hubiese algún caso que no tuviese
al menos una solución con los dos lados primos simultáneamente ? Si ese
absurdo se produce puedes decir que has encontrado una demostración
de la conjetura de Goldbach por el método del absurdo. Pero previamente
debes garantizar que ese absurdo es inevitable por alguna razón bien
fundada. ¿ Dónde podremos hallar una razón bien fundada ? ¿ Tal vez
profundizando en las propiedades y las implicaciones de la resolución de
cuadráticas ? ¿ Tal vez en las propiedades de los naturales, de los
racionales, de los irracionales, de los complejos... ? ¿ Tal vez sería
posible demostrar que si no existiese al menos una solución con los dos
lados primos caeríamos en el absurdo de hallar soluciones complejas para
una variable P que claramente y sin la menor duda es natural ? No lo
estoy sugiriendo como pista para seguir. Simplemente estoy imaginando
tipos de panoramas que ejemplifiquen lo necesario para garantizar la
existencia de al menos una solución biprima.

Un saludo y gracias nuevamente.

[^Cuervo^]

Re: Rectángulo con lado primo

Veamos, veo que ese detalle no lo expresé con total claridad, pero fijemonos en lo siguiente que escribí antes.
"supongamos que el perímetro de un rectangulo mide 4N, entonces el semiperímetro mide en efecto 2N, por lo que si un lado mide P el lado adyacente medirá 2N-P y el area del rectangulo en función de P será
A=P*(2*N-P)=2*P*N-P^2.
Entonces podemos escribir que
P^2-2*P*N+A=0
Las soluciones de esa ecuación seran
P=N+(N^2-A)^(1/2) y P=N-(N^2-A)^(1/2)
Cuya suma es efectivamente 2N."
Hay en ese desarrollo algo que implique que las dos soluciones de P han de ser números primos? Hay algo en ese desarrollo que implique que por lo menos una, es decir el P que tomamos inicialmente lo sea, a no ser porque nosotros lo imponemos en el enunciado?
Para mi está claro que la no existencia de dos soluciones primas a esa ecuación cuadrática no cuestiona para nada el método de resolución de las cuadráticas, es más, ni siquiera el hecho de que ninguna solución sea un primo lo hace.
Es solo que en el planteamiento formal de esa ecuación nada impone la primalidad de P, solo lo impone el enunciado no la ecuación.
Por ejemplo si yo hiciera N=8 entonces el perímetro valdría 32 y el semiperímetro 16, con lo que el area valdría A=8*(16-8)=64, y las soluciones para P de la cuadrática serían P=8 y P=8, es decir, la ecuación seguiría siendo correcta para dos lados no primos.
Resumiendo, vuelvo a lo que dije con anterioridad, la no existencia o no de dos soluciones primas para esa ecuación cuadrática no implica para nada la demostración de la conjetura de Golbach, ni que falle para nada el método de resolución de ecuaciones de segundo grado.
Ahora bien, lo contrario, es decir, si la conjetura de Golbach se demostrara cierta, entonces sí podriamos afirmar que esa ecuación cuadrática tiene alguna solución en la que ambos valores son números primos.
Un saludo.

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Re: Rectángulo con lado primo

Estimado Cuervo:
Gracias por tu interés y tus aportes. Me hace bien tratar
este asunto contigo y si alguien más acudiera sentiría eso mismo. Tienes
razón. Nosotros imponemos la condición de tener un lado primo. Lo
importante es notar que PODEMOS imponerla con toda libertad,
independientemente del natural que ocupe el lugar de N . Hasta ahí todo
procede sin obstáculos y sin dudas. Y sigue sin obstáculos ni dudas hasta
obtener las dos soluciones de la cuadrática. Una corresponde obviamente
al primo que impusimos. Hasta aquí todo es certero y obvio. Para avanzar
más pongamos como ejemplo ejemplo N = 10 . En ese caso el
semiperímetro es 20 y tenemos P puede tomar libremente uno de los
nueve valores primos menores que 20 , es decir uno de la lista siguiente.
P=1 , P=2 , P=3 , P=5 , P=7 , P=11 , P=13 , P=17 , P=19 . Pero la
resolución de la cuadrática nos informa que nuestro P no está solo. Hay
una segunda solución insoslayable que con el mismo derecho reclamará lo
mismo que P , es decir ser prima. ¿Podemos elegir a P de tal modo que
la otra solución también sea prima ? En el caso del ejemplo sí. Elegimos
alguno de los valores siguientes P=1 , P=3 , P=7 , P=13 , P=17 , P=19
y en cualquiera de esas elecciones la otra solución es también prima. En
este ejemplo tenemos 6 maneras de lograr que ambas soluciones de la
cuadrática sean primas. Es decir 6 maneras de verificar la conjetura de
Goldbach. Podemos decir que en este ejemplo se verifica múltiplemente,
está poliverificada. Seguramente habrá casos que brinden menos de 6
formas de tener dos soluciones primas. Y también casos que brinden más
de 6 formas. Ahora la pregunta esencial. ¿ Cuál es el número mínimo de
formas de obtener dos soluciones primas en la cuadrática ? Si el mínimo
es cero, es decir casos en los que no hay forma de obtenerlas, entonces
nos olvidamos de la cuadrática y cerramos este hilo. Pero si por alguna
razón supiésemos que el mínimo es una forma, es decir que sea cual fuere
el caso no puede faltar al menos una forma, entonces sabríamos que la
conjetura de Goldbach es verdadera.

Espero haber expresado adecuadamente las cuestiones que me impulsaron
a iniciar este hilo. Si eso logré y si mantienes tu interés en el asunto me
agradaría continuarlo.

Mi mejor saludo para tí y para todas las personas que frecuentan el foro.

[^Cuervo^]

Re: Rectángulo con lado primo

Entiendo lo que propones, solo quería recalcar el hecho de que en el desarrollo de esa ecuación cuadrática, nada fuerza a que el P escogido sea primo salvo que así lo decidimos en el enunciado. Y aunque el P escogido sea primo, el hecho de que la otra solución resulte no ser primo, en ningún caso desvirtua el método general de resolución de las cuadráticas, luego por reducción al absurdo no veo que valga la demostración que propones.
Para que me entiendas mejor, estoy de acuerdo en todo lo que dices salvo en que:
"Hay una segunda solución insoslayable que con el mismo derecho reclamará lo mismo que P , es decir ser prima."
No hay nada, repito, nada en la formulación de esa ecuación cuadrática que nos permita decir nada de cual será la otra solución si escogemos un P primo, y por lo tanto, nada que obligue a esa otra solución de P a ser primo ni mucho menos.
De hecho el afirmar que para cualquier P primo, existe otro Q primo tal que 2*N-P=Q, es precisamente afirmar la conjetura de Golbach ni más ni menos. Y desde luego no creo que podamos presuponer lo que pretendemos demostrar, ni veo que la formulación de esa ecuación cuadrática nos lleve más lejos que la misma conjetura.
Además...... si esa conjetura lleva siglos sin poder ser demostrada no es porque sí diría yo.

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Re: Rectángulo con lado primo

Estimado Cuervo:
100% en acuerdo contigo. Me hace bien saber que comprendes
mi intención de hurgar en la cuadrática y la intención de las
preguntas que hice. El resto está bien expresado en tu mensaje
y adhiero a él.

Mi mejor saludo para tí y para todas las personas que frecuentan
el foro.