Bolas numeradas

[jogares]

En una bolsa hay tres bolas numeradas 123. Tres amigos ABC juegan a extraer el número más alto. Cada uno saca una bola y el que saca el 1 entrega una moneda al que saca el 3. La situación después de un total de 16 jugadas es:
A ha sacado nueve veces el 2.
B y C han perdido más de tres jugadas cada uno y los dos han terminado en positivo con una ganancia igual al número de veces que han sacado el 2.
El que más ganancia ha obtenido es B.
¿Cuántas veces ha sacado cada uno de ellos el 1, el 2, y el 3?

[Richard R Richard]

Re: Bolas numeradas

Si escriben [QUOTE ][solucion ] [/solucion ][/QUOTE] sin los espacios ya no hace falta el rollito, Solo un saludo de 5 caracteres.

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$X_a$=cantidad de veces que A saco 1
$X_b$=cantidad de veces que B saco 1
$X_c$=cantidad de veces que C saco 1
$Y_a$=cantidad de veces que A saco 2
$Y_b$=cantidad de veces que B saco 2
$Y_c$=cantidad de veces que C saco 2
$Z_a$=cantidad de veces que A saco 3
$Z_b$=cantidad de veces que B saco 3
$Z_c$=cantidad de veces que C saco 3

Del enunciado tenemos las siguientes relaciones

$Y_a=9$
$Z_b-X_b>Z_c-X_c \text{ Ademas }X_b\geqslant4>3\text{ y también }X_c\geqslant4>3$

$$X_a+X_b+X_c=16$$

$$Y_a+Y_b+Y_c=16$$

$$Z_a+Z_b+Z_c=16$$

$$X_a+Y_a+Z_a=16$$

$$X_b+Y_b+Z_b=16$$

$$X_c+Y_c+Z_b=16$$

$$X_b+Y_b-Z_b=0$$

$$X_c+Y_c-Z_c=0$$

estas 8 ecuaciones tienen 9 incognitas pero ya hay una dada $Y_a=9$

despejando $Y_b$ de (7) y reemplazando de (5) obtenemos $2Z_b=16 \to Z_b=8$
despejando $Y_c$ de (8) y reemplazando de (6) obtenemos $2Z_c=16 \to Z_c=8$
reemplazando estos valores en (3) obtenemos $Z_a=0$
reemplazando estos valores en (4) obtenemos $X_a=7$
reemplazando estos valores en (1) sabiendo$X_c>X_b>=4 \to X_c=5 \text{ y que} X_b=4$
reemplazando estos valores en (6) obtenemos $Y_c=3$
reemplazando estos valores en (5) obtenemos $Y_b=4$

entonces

$X_a=7$=cantidad de veces que A saco 1
$X_b=4$=cantidad de veces que B saco 1
$X_c=5$=cantidad de veces que C saco 1
$Y_a=9$=cantidad de veces que A saco 2
$Y_b=4$=cantidad de veces que B saco 2
$Y_c=3$=cantidad de veces que C saco 2
$Z_a=0$=cantidad de veces que A saco 3
$Z_b=8$=cantidad de veces que B saco 3
$Z_c=8$=cantidad de veces que C saco 3

Saludos