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Sistemas de numeración
Después de haber leido el interesante post de Lemuel sobre el sistema binario, al que felicito ya que suele escribir posts amenos, divertidos y por supuesto muchísimo más divulgativos que los míos, me propongo a exponer mi propio experimento.
Que es un sistema de numeración?. Pues es un conjunto de símbolos y unas reglas de formación que nos permiten expresar cualquier cantidad.
Que necesitamos para formar uno?. Pues fundamentalmente un conjunto de símbolos, un orden entre ellos, y una base que queda determinada por el cardinal de dicho conjunto o cantidad de símbolos.
Veamos un ejemplo un tanto exótico.
Supongamos que tenemos el conjunto de símbolos
{#,$,%} y un orden entre ellos #<$<%. Entonces al tener 3 símbolos estamos trabajando en base 3 y para representar cantidades procederiamos de la siguiente forma.
0----->#
1----->$
2----->%
.
.
.
3----->$#
4----->$$
5----->$%
6----->%#
7----->%$
8----->%%
9----->$##
.
.
.
etc.....
Dada una cantidad cualquiera (incluso decimal) en esa base, podemos pasarla fácilmente a nuestro sistema usual decimal de la siguiente forma.
$#%% , %%#$=1*3^3+0*3^2+2*3^1+2*3^0+2*3^(-1)+2*3^(-2)+0*3^(-3)+1*3^(-4)=2908/81
Es decir utilizando las potencias de la base que se corresponden al digito en cuestión de dicha cifra.
Y también podemos pasar una cifra de nuestra base decimal a nuestro nuevo sistema numérico. Así por ejemplo
si tenemos el número 17.32 procederemos de la siguiente forma. Primero tomamos la parte entera y dividimos repetidamente por la base 3 obteniendo
17=3*5+2
5=3*1+2
por lo tanto
17/3=3*5+2=3*(3*1+2)+2=3^2*1+3^1*2+3^0*2
Es decir la parte entera sería
$%%
Ahora tomamos la parte decimal y la multiplicamos repetidamente por la base 3 y tomando la parte entera de dichas multiplicaciones.
0,32*3=0.96 el primer digito decimal será #
(0.96-0)=0.96*3=2.88 el segundo dígito decimal será %
(2.88-2)=0.88*3=2.64 el tercero será %
(2.64-2)=0.64*3=1.92 el cuarto será $
etc...
digo etc... porque al ser 3 la base y no ser el 3 factor de 10, ese número decimal exacto en base 10 es periódico en base 3, por los motivos que ya expuse en el post sobre exactos y periódicos en distintas bases, y el periodo no es precisamente corto que digamos. Nos queda entonces que...
17,32=$%% , #%%$.....
en nuestra nueva base de numeración.
También podriamos hacer tablas de sumar o multiplicar de nuestra nueva base. Veamos como quedaría la tabla de sumar
#+#=# #+$=$ #+%=%
$+#=$ $+$=% $+%=$#
%+#=% %+$=$# %+%=$$
y la de multiplicar sería
#*#=# #*$=# #*%=#
$*#=# $*$=$ $*%=%
%*#=# %*$=% %*%=$$
Estas tablas nos permitirían sumar y multiplicar de forma similar a como lo hacemos en base 10, teniendo en cuenta acarreos y demás.
Bien esperando comentarios les dejo para que mediten sobre lo dicho.
Que es un sistema de numeración?. Pues es un conjunto de símbolos y unas reglas de formación que nos permiten expresar cualquier cantidad.
Que necesitamos para formar uno?. Pues fundamentalmente un conjunto de símbolos, un orden entre ellos, y una base que queda determinada por el cardinal de dicho conjunto o cantidad de símbolos.
Veamos un ejemplo un tanto exótico.
Supongamos que tenemos el conjunto de símbolos
{#,$,%} y un orden entre ellos #<$<%. Entonces al tener 3 símbolos estamos trabajando en base 3 y para representar cantidades procederiamos de la siguiente forma.
0----->#
1----->$
2----->%
.
.
.
3----->$#
4----->$$
5----->$%
6----->%#
7----->%$
8----->%%
9----->$##
.
.
.
etc.....
Dada una cantidad cualquiera (incluso decimal) en esa base, podemos pasarla fácilmente a nuestro sistema usual decimal de la siguiente forma.
$#%% , %%#$=1*3^3+0*3^2+2*3^1+2*3^0+2*3^(-1)+2*3^(-2)+0*3^(-3)+1*3^(-4)=2908/81
Es decir utilizando las potencias de la base que se corresponden al digito en cuestión de dicha cifra.
Y también podemos pasar una cifra de nuestra base decimal a nuestro nuevo sistema numérico. Así por ejemplo
si tenemos el número 17.32 procederemos de la siguiente forma. Primero tomamos la parte entera y dividimos repetidamente por la base 3 obteniendo
17=3*5+2
5=3*1+2
por lo tanto
17/3=3*5+2=3*(3*1+2)+2=3^2*1+3^1*2+3^0*2
Es decir la parte entera sería
$%%
Ahora tomamos la parte decimal y la multiplicamos repetidamente por la base 3 y tomando la parte entera de dichas multiplicaciones.
0,32*3=0.96 el primer digito decimal será #
(0.96-0)=0.96*3=2.88 el segundo dígito decimal será %
(2.88-2)=0.88*3=2.64 el tercero será %
(2.64-2)=0.64*3=1.92 el cuarto será $
etc...
digo etc... porque al ser 3 la base y no ser el 3 factor de 10, ese número decimal exacto en base 10 es periódico en base 3, por los motivos que ya expuse en el post sobre exactos y periódicos en distintas bases, y el periodo no es precisamente corto que digamos. Nos queda entonces que...
17,32=$%% , #%%$.....
en nuestra nueva base de numeración.
También podriamos hacer tablas de sumar o multiplicar de nuestra nueva base. Veamos como quedaría la tabla de sumar
#+#=# #+$=$ #+%=%
$+#=$ $+$=% $+%=$#
%+#=% %+$=$# %+%=$$
y la de multiplicar sería
#*#=# #*$=# #*%=#
$*#=# $*$=$ $*%=%
%*#=# %*$=% %*%=$$
Estas tablas nos permitirían sumar y multiplicar de forma similar a como lo hacemos en base 10, teniendo en cuenta acarreos y demás.
Bien esperando comentarios les dejo para que mediten sobre lo dicho.