Premio de televisión

[jogares]

En un canal de televisión se muestra una bolsa cerrada que contiene el premio que se puede ganar. La información que suministran es:
La bolsa contiene varias monedas iguales de oro cuyo peso unitario es un número entero de gramos.
Si se conoce el peso total del contenido de la bolsa se puede saber el peso y número de las monedas.
Con una balanza de dos platos y tres pesas de 50gr. se puede saber el peso total de las monedas.
¿Cuántas monedas hay y cuánto pesan?

[Machinegun]

Re: Premio de televisión

Otro problema muy bonito. Veamos si acierto.

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A ver si no ando descaminado. Yo creo que la solución es la que a continuación paso a indicar, si es que estas palabras que llevo escritas alcanzan para tapar lo que se cuela por no sé dónde. Bueno, según yo la solución es 11 monedas que pesan 11 gramos.
El razonamiento que me llevó hasta este insólito resultado es el siguiente: No habría manera de saber cuántas monedas hay y cuánto pesan si nos dijeran que pesan cualquier cantidad, por ejempo, si nos dijeran que pesan 100 gramos, no podríamos saber si son 50 de 2 g o 25 de 4 g, o 20 de 5 g o 4 de 25 g, etc. Sin embargo, como parte de los datos nos dicen que si supiéramos el peso podríamos saber cuántas monedas hay. Bueno eso sólo ocurriría si el peso fuera una potencia de 2 pero no de cualquier número sino de un número primo; por ejemplo, si nos dicen que la bolsa pesa 64 g, podría tratarse de 8 monedas de 8 g, pero también de 16 de 4 g, etc. Así llegamos a la solución: si nos dijeran que la bolsa pesa 49 g, sabríamos que tiene 7 monedas de 7 g, y si nos dijeran que pesa 25 g, la única posibilidad sería 5 monedas de 5 g, etc. Entonces aquí entra el otro dato que nos dan: que se puede averiguar el peso con una balanza de 2 platos y tres pesas de 50 g. Muy bien, pues entonces, la única solución posible es la de 11 monedas, porque con las pesas que tenemos podemos saber si la bolsa pesa menos de 50g, o si pesa 50 g, o más de 50 g y menos de 100 g, o 100 g o más de 100 g pero menos de 150 g o más de 150 g. Si pesa más de 150 g, no sabríamos cuántas monedas hay, porque el número de cuadrados de primos es infinito, pero si sabemos que la bolsa pesa más de 100 g pero menos de 150 g, sólo hay un posible cuadrado de primo, que es el 121, mientras que si pesara entre 50 y 100, no habría ningún cuadrado de primo y si pesara menos de 50 habría varios: 4, 9, 25 y 49. Por lo tanto sólo es posible la solución indicada, creo.

Saludos

[carroza]

Re: Premio de televisión

voy a probar, antes de mirar lo quw dice machinegun:

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el peso total es un numero compuesto, producto del numero de monedas por el peso de cada uno. En general, a partir del peso total ab no se sabe si hay a monedas
que pesan b o b monedas que pesan a, salvo que a=b y el peso total sean un cuadrado perfecto. El unico cuadrado perfecto que puede determinarse con tres pesas de 50 gramos es 100, con lo que debe haber 10 monedas de 10 gramos.

PS: me mosquea un poco que 100 no sea el cuadrado de un primo, lo que permitiría 4 monedas de 25 gramos o 25 monedas de 4 gramos, pero no se me ocurre otra solucion más nitida

[jogares]

Re: Premio de televisión

Machinegun ha encontrado la solución correcta con un razonamiento impecable.
Saludos