Caja de seguridad

[jogares]

En una empresa hay cinco responsables de una caja de seguridad que solo se abre con las llaves de al menos cuatro cualesquiera de ellos. Para conseguirlo se han colocado en la caja el número mínimo necesario de cerraduras ¿Cuántas cerraduras hay?
Hay una interesante solución sin tener que recurrir a tanteos.

[Machinegun]

Re: Caja de seguridad

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Hola Jogares, hace unos 5 años ya habíamos resuelto un problema similar en este foro

Para el caso que planteas, se necesitan 10 cerraduras y dos copias de cada llave, lo que nos da 20 llaves que se distribuyen entre 5 personas; es decir cada uno tendría 4 llaves. Para saber por qué se necesitan al menos 10 cerraduras partimos del dato de que no queremos que cualesquiera 3 personas puedan abrir la caja de seguridad y como hay 10 posibles grupos de 3 personas de un total de 5 participantes, necesitamos por lo menos una cerradura que no pueda abrir cada uno de esos 10 grupos. ¿Por qué 2 copias de cada cerradura? Porque así nos aseguramos que si se juntan 4,no se dará el caso de que la única llave de alguna cerradura la tenga la persona que no está en ese grupo de 4. Así pues, sabemos que siempre 4 podrán abrir la caja y nunca 3 la podrán abrir. Para distribuir las llaves todo lo que tenemos que hacer es darle a cada participante una copia de la cerradura que no pueda abrir cada uno de los 4 grupos de 3 a los que él no pertenece

Saludos

[jogares]

Re: Caja de seguridad

Así es, Machinegun. Lo que me parece interesante de este problema es la generalización de la solución. Si N es el número de responsables y n los que tienen que estar presentes para abrir la caja, el número de cerraduras siempre tiene que ser

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igual al número de grupos de tamaño n-1 que se pueden formar con N, es decir N!/(n-1)!*(N-n+1)!

Saludos